Derivadas parciales

Las derivadas parciales te dicen cómo cambia una función con más de una entrada cuando cambias solo una variable y mantienes las demás constantes. Si buscaste cómo hallar derivadas parciales, esa es la regla: deriva con respecto a una variable y trata el resto como constantes.

Para una función $f(x,y)$, las dos derivadas parciales de primer orden más comunes son $f_x$ y $f_y$:

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}.$$

El símbolo $\frac{\partial f}{\partial x}$ significa derivar con respecto a $x$ mientras se trata $y$ como fija. El símbolo $\frac{\partial f}{\partial y}$ significa hacer lo mismo con respecto a $y$ mientras se trata $x$ como fija.

Qué significan las derivadas parciales

Una derivada ordinaria mide el cambio de una función de una sola variable. Una derivada parcial hace el mismo trabajo para una función de varias variables, una dirección a la vez.

Por ejemplo, si la temperatura se modela mediante $T(x,y)$, entonces $\frac{\partial T}{\partial x}$ mide cómo cambia la temperatura al moverte en la dirección $x$ mientras permaneces en el mismo valor de $y$. Esa condición de “mismo valor de $y$” es toda la idea.

Cómo hallar una derivada parcial

Usa esta lista:

1. Elige la variable con respecto a la que quieres derivar.
2. Trata todas las demás variables como constantes.
3. Aplica las reglas habituales de derivación.
4. Sustituye un punto solo después de haber encontrado la fórmula de la derivada.

Ejemplo resuelto: hallar $f_x$ y $f_y$

Sea

$$f(x,y) = x^2y + 3y^2.$$

Halla las derivadas parciales de primer orden con respecto a $x$ y a $y$.

Paso 1: Hallar $f_x$

Mantén $y$ constante. Entonces $x^2y$ actúa como un múltiplo constante de $x^2$, y $3y^2$ es simplemente una constante con respecto a $x$:

$$\frac{\partial}{\partial x}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_x(x,y) = 2xy.$$

Paso 2: Hallar $f_y$

Ahora mantén $x$ constante. El término $x^2y$ se deriva como $x^2 \cdot y$, donde $x^2$ es un multiplicador constante:

$$\frac{\partial}{\partial y}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Así que las dos derivadas parciales de primer orden son

$$f_x(x,y) = 2xy, \qquad f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Si el problema pide los valores en $(1,2)$, sustituye después de derivar:

$$f_x(1,2) = 2(1)(2) = 4, \qquad f_y(1,2) = 1^2 + 6(2) = 13.$$

Este ejemplo muestra el patrón principal: la variable que no estás usando se comporta como un número durante esa derivación.

Por qué importa “mantener constante la otra variable”

Cuando calculas $\frac{\partial f}{\partial x}$, estás preguntando por el cambio solo en la dirección $x$. Por eso, toda variable distinta de $x$ se mantiene fija en ese cálculo.

Por eso

$$\frac{\partial}{\partial x}(3y^2) = 0$$

en el ejemplo anterior. La expresión $3y^2$ puede depender de $y$, pero no cambia cuando cambia $x$ si $y$ se mantiene fija.

Errores comunes

1. Derivar con respecto a $x$ mientras sigues dejando que $y$ cambie.
2. Olvidar que un término sin la variable elegida se convierte en una constante, así que su derivada es $0$.
3. Confundir $\frac{\partial f}{\partial x}$ con $\frac{\partial f}{\partial y}$. Responden preguntas distintas.
4. Sustituir un punto antes de derivar, lo que puede ocultar la estructura de la función.
5. Suponer que las derivadas parciales existen automáticamente en todas partes. Pueden no existir en puntos donde la función no se comporta bien.

Cuándo se usan las derivadas parciales

Las derivadas parciales aparecen en cálculo multivariable siempre que una salida depende de varias entradas.

Entre sus usos comunes están los gradientes, los planos tangentes, la optimización, las ecuaciones diferenciales y los modelos de física, economía e ingeniería. En cada caso, la pregunta práctica es parecida: ¿qué pasa si cambia una entrada mientras las demás permanecen fijas?

Una imagen mental que ayuda

Piensa en la gráfica de $z = f(x,y)$ como una superficie. La derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$ te dice la pendiente de esa superficie si la cortas en la dirección donde $y$ es fija. La derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y}$ hace lo mismo en la dirección donde $x$ es fija.

Esa imagen suele bastar para que la idea encaje antes de pasar a gradientes o planos tangentes.

Prueba un problema parecido

Prueba con

$$g(x,y) = x^3 - 2xy + y^2.$$

Halla $g_x$ y $g_y$, y luego evalúa ambos en $(2,1)$. Si quieres dar un paso más, intenta primero tu propia versión y luego compárala con un solucionador para comprobar si de verdad mantuviste constante la otra variable cada vez.