Derivadas Parciais

Derivadas parciais mostram como uma função com mais de uma entrada muda quando você altera apenas uma variável e mantém as outras constantes. Se você pesquisou como calcular derivadas parciais, essa é a regra: derive em relação a uma variável e trate as demais como constantes.

Para uma função $f(x,y)$, as duas derivadas parciais de primeira ordem mais comuns são $f_x$ e $f_y$:

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}.$$

O símbolo $\frac{\partial f}{\partial x}$ significa derivar em relação a $x$, tratando $y$ como fixo. O símbolo $\frac{\partial f}{\partial y}$ significa fazer a mesma coisa em relação a $y$, tratando $x$ como fixo.

O que significam as derivadas parciais

Uma derivada comum mede a variação de uma função de uma variável. Uma derivada parcial faz o mesmo para uma função de várias variáveis, uma direção de cada vez.

Por exemplo, se a temperatura é modelada por $T(x,y)$, então $\frac{\partial T}{\partial x}$ mede como a temperatura muda quando você se move na direção de $x$, permanecendo no mesmo valor de $y$. Essa condição de “mesmo valor de $y$” é a ideia central.

Como calcular uma derivada parcial

Use esta lista:

1. Escolha a variável em relação à qual você quer derivar.
2. Trate todas as outras variáveis como constantes.
3. Aplique as regras usuais de derivação.
4. Substitua um ponto somente depois de encontrar a fórmula da derivada.

Exemplo resolvido: encontre $f_x$ e $f_y$

Seja

$$f(x,y) = x^2y + 3y^2.$$

Encontre as derivadas parciais de primeira ordem em relação a $x$ e a $y$.

Passo 1: Encontre $f_x$

Mantenha $y$ constante. Então $x^2y$ funciona como um múltiplo constante de $x^2$, e $3y^2$ é apenas uma constante em relação a $x$:

$$\frac{\partial}{\partial x}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_x(x,y) = 2xy.$$

Passo 2: Encontre $f_y$

Agora mantenha $x$ constante. O termo $x^2y$ é derivado como $x^2 \cdot y$, em que $x^2$ é um multiplicador constante:

$$\frac{\partial}{\partial y}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Então as duas derivadas parciais de primeira ordem são

$$f_x(x,y) = 2xy, \qquad f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Se o problema pedir os valores em $(1,2)$, substitua depois de derivar:

$$f_x(1,2) = 2(1)(2) = 4, \qquad f_y(1,2) = 1^2 + 6(2) = 13.$$

Este exemplo mostra o padrão principal: a variável que você não está usando se comporta como um número durante aquela derivada.

Por que “manter a outra variável constante” importa

Quando você calcula $\frac{\partial f}{\partial x}$, está perguntando pela variação apenas na direção de $x$. Por isso, toda variável diferente de $x$ fica fixa nesse cálculo.

É por isso que

$$\frac{\partial}{\partial x}(3y^2) = 0$$

no exemplo acima. A expressão $3y^2$ pode depender de $y$, mas ela não muda quando $x$ varia e $y$ é mantido fixo.

Erros comuns

1. Derivar em relação a $x$ e ainda deixar $y$ variar.
2. Esquecer que um termo sem a variável escolhida vira constante, então sua derivada é $0$.
3. Confundir $\frac{\partial f}{\partial x}$ com $\frac{\partial f}{\partial y}$. Elas respondem a perguntas diferentes.
4. Substituir um ponto antes de derivar, o que pode esconder a estrutura da função.
5. Supor que derivadas parciais existem automaticamente em todo lugar. Elas podem não existir em pontos onde a função não se comporta bem.

Quando as derivadas parciais são usadas

Derivadas parciais aparecem no cálculo multivariável sempre que uma saída depende de várias entradas.

Usos comuns incluem gradientes, planos tangentes, otimização, equações diferenciais e modelos da física, da economia e da engenharia. Em cada caso, a pergunta prática é parecida: o que acontece se uma entrada muda enquanto as outras permanecem fixas?

Uma imagem mental que ajuda

Pense no gráfico de $z = f(x,y)$ como uma superfície. A derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$ informa a inclinação dessa superfície se você fizer um corte na direção em que $y$ é fixo. A derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y}$ faz o mesmo na direção em que $x$ é fixo.

Essa imagem costuma ser suficiente para a ideia fazer sentido antes de você passar para gradientes ou planos tangentes.

Tente um problema parecido

Tente

$$g(x,y) = x^3 - 2xy + y^2.$$

Encontre $g_x$ e $g_y$, depois calcule ambos em $(2,1)$. Se quiser dar um passo além, tente primeiro a sua própria solução e depois compare com um resolvedor para verificar se você realmente manteve a outra variável constante em cada etapa.