Kısmi Türevler

Kısmi türevler, birden fazla girdisi olan bir fonksiyonun yalnızca bir değişkenini değiştirip diğerlerini sabit tuttuğunuzda nasıl değiştiğini gösterir. Kısmi türev nasıl bulunur diye aradıysanız, kural şudur: bir değişkene göre türev alın ve geri kalanları sabit kabul edin.

$f(x,y)$ fonksiyonu için en yaygın iki birinci kısmi türev $f_x$ ve $f_y$'dir:

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}.$$

$\frac{\partial f}{\partial x}$ sembolü, $y$ sabit kabul edilerek $x$'e göre türev alınması anlamına gelir. $\frac{\partial f}{\partial y}$ sembolü ise aynı işlemin $x$ sabit kabul edilerek $y$'ye göre yapılması demektir.

Kısmi türevler ne anlama gelir?

Normal türev, tek değişkenli bir fonksiyondaki değişimi ölçer. Kısmi türev ise aynı işi çok değişkenli bir fonksiyon için, her seferinde tek bir yönde yapar.

Örneğin sıcaklık $T(x,y)$ ile modelleniyorsa, $\frac{\partial T}{\partial x}$, $y$ değeri aynı kalırken $x$ yönünde ilerlediğinizde sıcaklığın nasıl değiştiğini ölçer. İşin özü tam olarak bu “aynı $y$ değeri” koşuludur.

Kısmi türev nasıl bulunur?

Şu kontrol listesini kullanın:

1. Hangi değişkene göre türev almak istediğinizi seçin.
2. Diğer tüm değişkenleri sabit kabul edin.
3. Alışılmış türev kurallarını uygulayın.
4. Bir noktayı ancak türev formülünü bulduktan sonra yerine yazın.

Çözümlü örnek: $f_x$ ve $f_y$ bulun

Verilsin:

$$f(x,y) = x^2y + 3y^2.$$

$x$ ve $y$'ye göre birinci kısmi türevleri bulun.

1. Adım: $f_x$ bulun

$y$'yi sabit tutun. Bu durumda $x^2y$, $x^2$'nin sabit katsayılı bir hali gibi davranır ve $3y^2$, $x$'e göre sadece bir sabittir:

$$\frac{\partial}{\partial x}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_x(x,y) = 2xy.$$

2. Adım: $f_y$ bulun

Şimdi $x$'i sabit tutun. $x^2y$ terimi, $x^2 \cdot y$ gibi türevlenir; burada $x^2$ sabit bir çarpandır:

$$\frac{\partial}{\partial y}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Dolayısıyla iki birinci kısmi türev şunlardır:

$$f_x(x,y) = 2xy, \qquad f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Soru $(1,2)$ noktasındaki değerleri istiyorsa, türev aldıktan sonra yerine yazın:

$$f_x(1,2) = 2(1)(2) = 4, \qquad f_y(1,2) = 1^2 + 6(2) = 13.$$

Bu örnek temel kalıbı gösterir: kullanmadığınız değişken, o türev sırasında bir sayı gibi davranır.

“Diğer değişkeni sabit tutmak” neden önemlidir?

$\frac{\partial f}{\partial x}$ hesaplanırken yalnızca $x$ yönündeki değişim sorulur. Bu yüzden hesap boyunca $x$ dışındaki her değişken sabit tutulur.

Bu nedenle yukarıdaki örnekte

$$\frac{\partial}{\partial x}(3y^2) = 0$$

olur. $3y^2$ ifadesi $y$'ye bağlı olabilir, ama $y$ sabit tutulduğunda $x$ değişirken değişmez.

Yaygın hatalar

1. $x$'e göre türev alırken $y$'nin de değiştiğini düşünmek.
2. Seçilen değişkeni içermeyen bir terimin sabit olduğunu unutmak; bu yüzden türevi $0$ olur.
3. $\frac{\partial f}{\partial x}$ ile $\frac{\partial f}{\partial y}$ ifadelerini karıştırmak. Bunlar farklı sorulara cevap verir.
4. Türev almadan önce bir noktayı yerine yazmak; bu, fonksiyonun yapısını gizleyebilir.
5. Kısmi türevlerin her noktada otomatik olarak var olduğunu sanmak. Fonksiyonun düzgün davranmadığı noktalarda var olmayabilirler.

Kısmi türevler nerelerde kullanılır?

Kısmi türevler, çok değişkenli analizde bir çıktı birkaç girdiye bağlı olduğunda ortaya çıkar.

Yaygın kullanım alanları arasında gradyanlar, teğet düzlemler, optimizasyon, diferansiyel denklemler ve fizik, ekonomi ile mühendislikteki modeller bulunur. Her durumda pratik soru benzerdir: diğerleri sabit kalırken bir girdi değişirse ne olur?

Yardımcı bir zihinsel resim

$z = f(x,y)$ grafiğini bir yüzey olarak düşünün. $\frac{\partial f}{\partial x}$ kısmi türevi, $y$ sabitken bu yüzeyi kestiğinizde elde edilen eğimi verir. $\frac{\partial f}{\partial y}$ kısmi türevi de aynı şeyi $x$ sabitken verir.

Bu görsel, gradyanlara ya da teğet düzlemlere geçmeden önce fikrin yerine oturması için çoğu zaman yeterlidir.

Benzer bir soru deneyin

Şunu deneyin:

$$g(x,y) = x^3 - 2xy + y^2.$$

$g_x$ ve $g_y$'yi bulun, sonra ikisini de $(2,1)$ noktasında hesaplayın. Bir sonraki adım olarak önce kendi çözümünüzü deneyebilir, sonra her seferinde diğer değişkeni gerçekten sabit tutup tutmadığınızı kontrol etmek için bir çözücüyle karşılaştırabilirsiniz.