Partielle Ableitungen

Partielle Ableitungen zeigen, wie sich eine Funktion mit mehr als einer Eingabe ändert, wenn du nur eine Variable veränderst und die anderen konstant hältst. Wenn du danach gesucht hast, wie man partielle Ableitungen berechnet, dann ist genau das die Regel: Leite nach einer Variable ab und behandle alle übrigen wie Konstanten.

Für eine Funktion $f(x,y)$ sind die zwei häufigsten ersten partiellen Ableitungen $f_x$ und $f_y$:

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}.$$

Das Symbol $\frac{\partial f}{\partial x}$ bedeutet, dass du nach $x$ ableitest und dabei $y$ als fest betrachtest. Das Symbol $\frac{\partial f}{\partial y}$ bedeutet dasselbe für $y$, während $x$ festgehalten wird.

Was partielle Ableitungen bedeuten

Eine gewöhnliche Ableitung misst die Änderung einer Funktion mit einer Variablen. Eine partielle Ableitung macht dasselbe für eine Funktion mit mehreren Variablen, jeweils in nur einer Richtung.

Wenn zum Beispiel die Temperatur durch $T(x,y)$ modelliert wird, dann misst $\frac{\partial T}{\partial x}$, wie sich die Temperatur ändert, wenn du dich in $x$-Richtung bewegst und dabei beim gleichen $y$-Wert bleibst. Genau dieses „gleicher $y$-Wert“ ist die ganze Idee.

Wie man eine partielle Ableitung berechnet

Nutze diese Checkliste:

1. Wähle die Variable, nach der du ableiten willst.
2. Behandle jede andere Variable als Konstante.
3. Wende die üblichen Ableitungsregeln an.
4. Setze einen Punkt erst ein, nachdem du die Ableitungsformel gefunden hast.

Durchgerechnetes Beispiel: Bestimme $f_x$ und $f_y$

Sei

$$f(x,y) = x^2y + 3y^2.$$

Bestimme die ersten partiellen Ableitungen nach $x$ und $y$.

Schritt 1: Bestimme $f_x$

Halte $y$ konstant. Dann verhält sich $x^2y$ wie ein konstantes Vielfaches von $x^2$, und $3y^2$ ist bezüglich $x$ einfach eine Konstante:

$$\frac{\partial}{\partial x}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_x(x,y) = 2xy.$$

Schritt 2: Bestimme $f_y$

Jetzt halte $x$ konstant. Der Term $x^2y$ wird abgeleitet wie $x^2 \cdot y$, wobei $x^2$ ein konstanter Faktor ist:

$$\frac{\partial}{\partial y}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Die beiden ersten partiellen Ableitungen sind also

$$f_x(x,y) = 2xy, \qquad f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Wenn in der Aufgabe nach den Werten an der Stelle $(1,2)$ gefragt wird, setzt du erst nach dem Ableiten ein:

$$f_x(1,2) = 2(1)(2) = 4, \qquad f_y(1,2) = 1^2 + 6(2) = 13.$$

Dieses Beispiel zeigt das Grundmuster: Die Variable, nach der du gerade nicht ableitest, verhält sich bei dieser Ableitung wie eine Zahl.

Warum „die andere Variable konstant halten“ wichtig ist

Wenn du $\frac{\partial f}{\partial x}$ berechnest, fragst du nach der Änderung nur in $x$-Richtung. Deshalb werden für diese Rechnung alle Variablen außer $x$ festgehalten.

Darum gilt im obigen Beispiel

$$\frac{\partial}{\partial x}(3y^2) = 0$$

Der Ausdruck $3y^2$ kann zwar von $y$ abhängen, aber er ändert sich nicht, wenn sich $x$ ändert und $y$ festgehalten wird.

Häufige Fehler

1. Nach $x$ ableiten und dabei trotzdem $y$ mitverändern.
2. Vergessen, dass ein Term ohne die gewählte Variable zu einer Konstante wird und seine Ableitung daher $0$ ist.
3. $\frac{\partial f}{\partial x}$ und $\frac{\partial f}{\partial y}$ verwechseln. Sie beantworten unterschiedliche Fragen.
4. Einen Punkt einsetzen, bevor abgeleitet wird, wodurch die Struktur der Funktion verdeckt werden kann.
5. Annehmen, dass partielle Ableitungen automatisch überall existieren. An Stellen, an denen die Funktion nicht gutartig ist, können sie nicht existieren.

Wann partielle Ableitungen verwendet werden

Partielle Ableitungen tauchen in der mehrdimensionalen Analysis immer dann auf, wenn ein Output von mehreren Eingaben abhängt.

Häufige Anwendungen sind Gradienten, Tangentialebenen, Optimierung, Differentialgleichungen und Modelle aus Physik, Wirtschaft und Ingenieurwesen. In jedem Fall ist die praktische Frage ähnlich: Was passiert, wenn sich eine Eingabe ändert, während die anderen fest bleiben?

Ein hilfreiches Bild im Kopf

Stell dir den Graphen von $z = f(x,y)$ als Fläche vor. Die partielle Ableitung $\frac{\partial f}{\partial x}$ gibt dir die Steigung dieser Fläche, wenn du sie in der Richtung betrachtest, in der $y$ fest ist. Die partielle Ableitung $\frac{\partial f}{\partial y}$ macht dasselbe in der Richtung, in der $x$ fest ist.

Dieses Bild reicht oft schon aus, damit die Idee klar wird, bevor du zu Gradienten oder Tangentialebenen übergehst.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche

$$g(x,y) = x^3 - 2xy + y^2.$$

Bestimme $g_x$ und $g_y$ und werte dann beide an der Stelle $(2,1)$ aus. Wenn du einen nächsten Schritt willst, probiere zuerst deine eigene Lösung und vergleiche sie dann mit einem Solver, um zu prüfen, ob du jedes Mal die andere Variable wirklich konstant gehalten hast.