편미분

편미분은 입력이 둘 이상인 함수에서 한 변수만 바꾸고 나머지는 상수로 고정했을 때 함수가 어떻게 변하는지를 알려줍니다. 편미분 구하는 법을 찾고 있었다면 규칙은 간단합니다. 한 변수에 대해 미분하고, 나머지 변수는 상수처럼 다루면 됩니다.

함수 $f(x,y)$에서 가장 자주 쓰는 두 개의 1차 편미분은 $f_x$와 $f_y$입니다:

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}.$$

기호 $\frac{\partial f}{\partial x}$는 $y$를 고정한 채 $x$에 대해 미분하라는 뜻입니다. 기호 $\frac{\partial f}{\partial y}$는 반대로 $x$를 고정한 채 $y$에 대해 같은 일을 하라는 뜻입니다.

편미분의 의미

일반적인 도함수는 한 변수 함수의 변화를 측정합니다. 편미분은 여러 변수 함수에 대해 같은 역할을 하지만, 한 번에 한 방향씩 변화를 봅니다.

예를 들어 온도가 $T(x,y)$로 모델링된다면, $\frac{\partial T}{\partial x}$는 $y$값을 그대로 유지한 채 $x$ 방향으로 움직일 때 온도가 어떻게 변하는지를 나타냅니다. 이 “같은 $y$값을 유지한다”는 조건이 핵심입니다.

편미분 구하는 방법

다음 순서를 따르면 됩니다:

1. 어떤 변수에 대해 미분할지 정합니다.
2. 나머지 모든 변수는 상수로 취급합니다.
3. 일반적인 미분 규칙을 적용합니다.
4. 점을 대입하는 것은 편미분 공식을 구한 뒤에 합니다.

예제: $f_x$와 $f_y$ 구하기

다음을 보겠습니다.

$$f(x,y) = x^2y + 3y^2.$$

$x$와 $y$에 대한 1차 편미분을 구해 봅시다.

Step 1: $f_x$ 구하기

$y$를 상수로 둡니다. 그러면 $x^2y$는 $x^2$에 상수가 곱해진 것처럼 보이고, $3y^2$는 $x$에 관해서는 그냥 상수입니다:

$$\frac{\partial}{\partial x}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_x(x,y) = 2xy.$$

Step 2: $f_y$ 구하기

이제는 $x$를 상수로 둡니다. 항 $x^2y$는 $x^2 \cdot y$처럼 미분되며, 여기서 $x^2$는 상수배입니다:

$$\frac{\partial}{\partial y}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

따라서 두 1차 편미분은

$$f_x(x,y) = 2xy, \qquad f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

입니다.

문제에서 $(1,2)$에서의 값을 구하라고 하면, 미분한 뒤에 대입합니다:

$$f_x(1,2) = 2(1)(2) = 4, \qquad f_y(1,2) = 1^2 + 6(2) = 13.$$

이 예제는 핵심 패턴을 잘 보여줍니다. 지금 미분에 사용하지 않는 변수는 그 과정에서 숫자처럼 행동합니다.

왜 “다른 변수를 상수로 둔다”가 중요한가

$\frac{\partial f}{\partial x}$를 계산할 때는 오직 $x$ 방향으로의 변화를 묻는 것입니다. 그래서 그 계산에서는 $x$를 제외한 모든 변수를 고정합니다.

그래서 위 예제에서

$$\frac{\partial}{\partial x}(3y^2) = 0$$

이 됩니다. 식 $3y^2$는 $y$에는 의존할 수 있지만, $y$를 고정하면 $x$가 변해도 함께 변하지 않기 때문입니다.

자주 하는 실수

1. $x$에 대해 미분하면서도 $y$가 함께 변한다고 생각하는 것.
2. 선택한 변수가 없는 항은 상수가 되므로 도함수가 $0$이 된다는 점을 놓치는 것.
3. $\frac{\partial f}{\partial x}$와 $\frac{\partial f}{\partial y}$를 혼동하는 것. 두 식은 서로 다른 질문에 답합니다.
4. 미분하기 전에 먼저 점을 대입하는 것. 그러면 함수의 구조가 가려질 수 있습니다.
5. 편미분이 항상 모든 점에서 존재한다고 가정하는 것. 함수가 충분히 잘 behaved하지 않은 점에서는 존재하지 않을 수 있습니다.

편미분은 언제 쓰이나요?

편미분은 출력값이 여러 입력값에 의존하는 다변수 미적분에서 자주 등장합니다.

대표적인 활용으로는 그래디언트, 접평면, 최적화, 미분방정식, 그리고 물리학·경제학·공학의 여러 모델이 있습니다. 어떤 경우든 실제 질문은 비슷합니다. 다른 입력은 고정한 채 한 입력만 바뀌면 무엇이 달라지는가입니다.

이해를 돕는 그림

그래프 $z = f(x,y)$를 하나의 곡면이라고 생각해 보세요. 편미분 $\frac{\partial f}{\partial x}$는 $y$를 고정한 방향으로 곡면을 잘랐을 때의 기울기를 알려줍니다. 편미분 $\frac{\partial f}{\partial y}$도 마찬가지로 $x$를 고정한 방향에서의 기울기를 나타냅니다.

이 그림만으로도 그래디언트나 접평면으로 넘어가기 전에 개념이 훨씬 잘 잡히는 경우가 많습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음을 해보세요.

$$g(x,y) = x^3 - 2xy + y^2.$$

$g_x$와 $g_y$를 구한 뒤, 둘 다 $(2,1)$에서 계산해 보세요. 한 단계 더 해보고 싶다면 먼저 스스로 풀어 본 다음, 매번 다른 변수를 정말 상수로 두었는지 확인하기 위해 풀이 도구와 비교해 보세요.