Turunan Parsial

Turunan parsial menunjukkan bagaimana sebuah fungsi dengan lebih dari satu masukan berubah ketika Anda hanya mengubah satu variabel dan menahan variabel lainnya tetap. Jika Anda mencari cara mencari turunan parsial, aturannya adalah ini: turunkan terhadap satu variabel, dan anggap sisanya sebagai konstanta.

Untuk fungsi $f(x,y)$, dua turunan parsial pertama yang paling umum adalah $f_x$ dan $f_y$:

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}.$$

Simbol $\frac{\partial f}{\partial x}$ berarti menurunkan terhadap $x$ sambil menganggap $y$ tetap. Simbol $\frac{\partial f}{\partial y}$ berarti melakukan hal yang sama terhadap $y$ sambil menganggap $x$ tetap.

Apa arti turunan parsial

Turunan biasa mengukur perubahan untuk fungsi satu variabel. Turunan parsial melakukan hal yang sama untuk fungsi beberapa variabel, satu arah pada satu waktu.

Sebagai contoh, jika suhu dimodelkan oleh $T(x,y)$, maka $\frac{\partial T}{\partial x}$ mengukur bagaimana suhu berubah saat Anda bergerak ke arah $x$ sambil tetap berada pada nilai $y$ yang sama. Kondisi "nilai $y$ yang sama" itulah inti utamanya.

Cara mencari turunan parsial

Gunakan daftar periksa ini:

1. Pilih variabel yang ingin Anda turunkan.
2. Anggap setiap variabel lain sebagai konstanta.
3. Terapkan aturan turunan biasa.
4. Substitusikan sebuah titik hanya setelah Anda menemukan rumus turunannya.

Contoh soal: cari $f_x$ dan $f_y$

Misalkan

$$f(x,y) = x^2y + 3y^2.$$

Carilah turunan parsial pertama terhadap $x$ dan $y$.

Langkah 1: Cari $f_x$

Anggap $y$ konstan. Maka $x^2y$ bertindak seperti kelipatan konstan dari $x^2$, dan $3y^2$ hanyalah konstanta terhadap $x$:

$$\frac{\partial}{\partial x}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_x(x,y) = 2xy.$$

Langkah 2: Cari $f_y$

Sekarang anggap $x$ konstan. Suku $x^2y$ diturunkan seperti $x^2 \cdot y$, dengan $x^2$ sebagai pengali konstan:

$$\frac{\partial}{\partial y}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Jadi dua turunan parsial pertamanya adalah

$$f_x(x,y) = 2xy, \qquad f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Jika soal meminta nilainya di $(1,2)$, substitusikan setelah menurunkan:

$$f_x(1,2) = 2(1)(2) = 4, \qquad f_y(1,2) = 1^2 + 6(2) = 13.$$

Contoh ini menunjukkan pola utamanya: variabel yang tidak sedang Anda gunakan bertindak seperti bilangan selama proses turunan itu.

Mengapa "menahan variabel lain tetap" itu penting

Saat Anda menghitung $\frac{\partial f}{\partial x}$, Anda sedang menanyakan perubahan hanya sepanjang arah $x$. Jadi setiap variabel selain $x$ dianggap tetap untuk perhitungan itu.

Itulah sebabnya

$$\frac{\partial}{\partial x}(3y^2) = 0$$

pada contoh di atas. Ekspresi $3y^2$ bisa bergantung pada $y$, tetapi tidak berubah saat $x$ berubah jika $y$ ditahan tetap.

Kesalahan umum

1. Menurunkan terhadap $x$ sambil tetap membiarkan $y$ berubah.
2. Lupa bahwa suku tanpa variabel yang dipilih menjadi konstanta, sehingga turunannya adalah $0$.
3. Tertukar antara $\frac{\partial f}{\partial x}$ dan $\frac{\partial f}{\partial y}$. Keduanya menjawab pertanyaan yang berbeda.
4. Memasukkan sebuah titik sebelum mengambil turunan, yang bisa menyembunyikan struktur fungsi.
5. Menganggap turunan parsial otomatis ada di semua titik. Turunan parsial bisa tidak ada di titik-titik saat fungsi tidak berperilaku dengan baik.

Kapan turunan parsial digunakan

Turunan parsial muncul dalam kalkulus multivariabel setiap kali sebuah keluaran bergantung pada beberapa masukan.

Penggunaan umumnya mencakup gradien, bidang singgung, optimasi, persamaan diferensial, dan model dari fisika, ekonomi, serta teknik. Dalam setiap kasus, pertanyaan praktisnya mirip: apa yang terjadi jika satu masukan berubah sementara yang lain tetap?

Gambaran mental yang membantu

Bayangkan grafik $z = f(x,y)$ sebagai sebuah permukaan. Turunan parsial $\frac{\partial f}{\partial x}$ memberi tahu kemiringan permukaan itu jika Anda memotongnya pada arah saat $y$ tetap. Turunan parsial $\frac{\partial f}{\partial y}$ melakukan hal yang sama pada arah saat $x$ tetap.

Gambaran itu sering kali sudah cukup untuk membuat idenya terasa jelas sebelum Anda lanjut ke gradien atau bidang singgung.

Coba soal serupa

Coba

$$g(x,y) = x^3 - 2xy + y^2.$$

Carilah $g_x$ dan $g_y$, lalu hitung keduanya di $(2,1)$. Jika Anda ingin langkah berikutnya, coba kerjakan versi Anda sendiri terlebih dahulu lalu bandingkan dengan solver untuk memeriksa apakah Anda benar-benar menahan variabel lain tetap setiap kali.