Pochodne cząstkowe

Pochodne cząstkowe pokazują, jak zmienia się funkcja mająca więcej niż jeden argument, gdy zmieniasz tylko jedną zmienną, a pozostałe utrzymujesz stałe. Jeśli szukasz, jak obliczać pochodne cząstkowe, zasada jest właśnie taka: różniczkuj względem jednej zmiennej, a resztę traktuj jak stałe.

Dla funkcji $f(x,y)$ dwiema najczęściej spotykanymi pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu są $f_x$ i $f_y$:

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}.$$

Symbol $\frac{\partial f}{\partial x}$ oznacza różniczkowanie względem $x$ przy założeniu, że $y$ jest stałe. Symbol $\frac{\partial f}{\partial y}$ oznacza to samo względem $y$, przy założeniu, że $x$ jest stałe.

Co oznaczają pochodne cząstkowe

Zwykła pochodna mierzy zmianę funkcji jednej zmiennej. Pochodna cząstkowa robi to samo dla funkcji wielu zmiennych, ale w jednym kierunku naraz.

Na przykład, jeśli temperatura jest opisana przez $T(x,y)$, to $\frac{\partial T}{\partial x}$ mierzy, jak zmienia się temperatura, gdy poruszasz się w kierunku osi $x$, pozostając przy tej samej wartości $y$. Ten warunek „to samo $y$” jest całą istotą pojęcia.

Jak obliczyć pochodną cząstkową

Skorzystaj z tej listy:

1. Wybierz zmienną, względem której chcesz różniczkować.
2. Traktuj każdą inną zmienną jak stałą.
3. Zastosuj zwykłe reguły różniczkowania.
4. Podstaw punkt dopiero po wyznaczeniu wzoru na pochodną.

Przykład z rozwiązaniem: wyznacz $f_x$ i $f_y$

Niech

$$f(x,y) = x^2y + 3y^2.$$

Wyznacz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem $x$ i $y$.

Krok 1: Wyznacz $f_x$

Przyjmij $y$ za stałe. Wtedy $x^2y$ zachowuje się jak stała wielokrotność $x^2$, a $3y^2$ jest po prostu stałą względem $x$:

$$\frac{\partial}{\partial x}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_x(x,y) = 2xy.$$

Krok 2: Wyznacz $f_y$

Teraz przyjmij $x$ za stałe. Wyrażenie $x^2y$ różniczkuje się jak $x^2 \cdot y$, gdzie $x^2$ jest stałym współczynnikiem:

$$\frac{\partial}{\partial y}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Zatem dwie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu to

$$f_x(x,y) = 2xy, \qquad f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

Jeśli w zadaniu trzeba obliczyć wartości w punkcie $(1,2)$, podstawiasz dopiero po różniczkowaniu:

$$f_x(1,2) = 2(1)(2) = 4, \qquad f_y(1,2) = 1^2 + 6(2) = 13.$$

Ten przykład pokazuje główny schemat: zmienna, względem której nie różniczkujesz, zachowuje się podczas tego różniczkowania jak liczba.

Dlaczego „przyjmowanie drugiej zmiennej za stałą” jest ważne

Gdy obliczasz $\frac{\partial f}{\partial x}$, pytasz o zmianę tylko w kierunku $x$. Dlatego każda zmienna inna niż $x$ jest w tym obliczeniu stała.

Właśnie dlatego

$$\frac{\partial}{\partial x}(3y^2) = 0$$

w powyższym przykładzie. Wyrażenie $3y^2$ może zależeć od $y$, ale nie zmienia się wraz ze zmianą $x$, jeśli $y$ jest utrzymywane stałe.

Typowe błędy

1. Różniczkowanie względem $x$ przy jednoczesnym pozwalaniu, by $y$ też się zmieniało.
2. Zapominanie, że wyraz bez wybranej zmiennej staje się stałą, więc jego pochodna wynosi $0$.
3. Mylenie $\frac{\partial f}{\partial x}$ i $\frac{\partial f}{\partial y}$. Odpowiadają na różne pytania.
4. Podstawianie punktu przed obliczeniem pochodnej, co może ukryć strukturę funkcji.
5. Zakładanie, że pochodne cząstkowe automatycznie istnieją wszędzie. Mogą nie istnieć w punktach, w których funkcja nie jest dostatecznie regularna.

Gdzie używa się pochodnych cząstkowych

Pochodne cząstkowe pojawiają się w rachunku wielu zmiennych wszędzie tam, gdzie wynik zależy od kilku argumentów.

Typowe zastosowania to gradienty, płaszczyzny styczne, optymalizacja, równania różniczkowe oraz modele z fizyki, ekonomii i inżynierii. W każdym przypadku praktyczne pytanie jest podobne: co się stanie, jeśli jeden argument się zmieni, a pozostałe pozostaną stałe?

Obraz, który pomaga to zrozumieć

Pomyśl o wykresie $z = f(x,y)$ jak o powierzchni. Pochodna cząstkowa $\frac{\partial f}{\partial x}$ mówi, jakie jest nachylenie tej powierzchni, jeśli przetniesz ją w kierunku, w którym $y$ jest stałe. Pochodna cząstkowa $\frac{\partial f}{\partial y}$ działa tak samo w kierunku, w którym $x$ jest stałe.

Taki obraz często wystarcza, żeby pojęcie stało się intuicyjne, zanim przejdziesz do gradientów lub płaszczyzn stycznych.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj

$$g(x,y) = x^3 - 2xy + y^2.$$

Wyznacz $g_x$ i $g_y$, a następnie oblicz obie wartości w punkcie $(2,1)$. Jeśli chcesz zrobić kolejny krok, najpierw spróbuj samodzielnie, a potem porównaj wynik z solverem, żeby sprawdzić, czy za każdym razem naprawdę traktowałeś drugą zmienną jak stałą.