อนุพันธ์ย่อย

อนุพันธ์ย่อยบอกว่าฟังก์ชันที่มีตัวแปรนำเข้ามากกว่าหนึ่งตัวเปลี่ยนแปลงอย่างไร เมื่อเราเปลี่ยนเพียงตัวแปรเดียวและตรึงตัวแปรที่เหลือไว้คงที่ ถ้าคุณค้นหาว่า how to find partial derivatives กฎก็คือ หาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปรหนึ่งตัว และมองตัวแปรที่เหลือเป็นค่าคงที่

สำหรับฟังก์ชัน $f(x,y)$ อนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งที่พบบ่อยที่สุดสองตัวคือ $f_x$ และ $f_y$:

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}.$$

สัญลักษณ์ $\frac{\partial f}{\partial x}$ หมายถึงหาอนุพันธ์เทียบกับ $x$ โดยมองว่า $y$ คงที่ ส่วนสัญลักษณ์ $\frac{\partial f}{\partial y}$ ก็หมายถึงทำแบบเดียวกันกับ $y$ โดยมองว่า $x$ คงที่

อนุพันธ์ย่อยหมายถึงอะไร

อนุพันธ์ปกติใช้วัดการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันตัวแปรเดียว ส่วนอนุพันธ์ย่อยทำหน้าที่เดียวกันสำหรับฟังก์ชันหลายตัวแปร โดยพิจารณาทีละทิศทาง

ตัวอย่างเช่น ถ้าอุณหภูมิถูกแทนด้วย $T(x,y)$ แล้ว $\frac{\partial T}{\partial x}$ จะวัดว่าอุณหภูมิเปลี่ยนอย่างไรเมื่อคุณเคลื่อนที่ไปตามทิศทาง $x$ โดยยังอยู่ที่ค่า $y$ เดิม เงื่อนไขที่ว่า “ค่า $y$ เดิม” นี่เองคือใจความสำคัญทั้งหมด

วิธีหาอนุพันธ์ย่อย

ใช้รายการตรวจสอบนี้:

1. เลือกตัวแปรที่คุณต้องการหาอนุพันธ์เทียบกับมัน
2. มองตัวแปรอื่นทุกตัวเป็นค่าคงที่
3. ใช้กฎการหาอนุพันธ์ตามปกติ
4. แทนค่าจุดหลังจากที่คุณได้สูตรอนุพันธ์แล้วเท่านั้น

ตัวอย่างทำโจทย์: หา $f_x$ และ $f_y$

ให้

$$f(x,y) = x^2y + 3y^2.$$

จงหาอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งเทียบกับ $x$ และ $y$

ขั้นที่ 1: หา $f_x$

ตรึง $y$ ให้คงที่ ดังนั้น $x^2y$ จะทำตัวเหมือนค่าคงที่คูณกับ $x^2$ และ $3y^2$ เป็นเพียงค่าคงที่เมื่อมองเทียบกับ $x$:

$$\frac{\partial}{\partial x}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_x(x,y) = 2xy.$$

ขั้นที่ 2: หา $f_y$

ตอนนี้ตรึง $x$ ให้คงที่ พจน์ $x^2y$ จะหาอนุพันธ์ได้เหมือน $x^2 \cdot y$ โดยที่ $x^2$ เป็นตัวคูณคงที่:

$$\frac{\partial}{\partial y}(x^2y + 3y^2).$$ $$f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

ดังนั้น อนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งทั้งสองตัวคือ

$$f_x(x,y) = 2xy, \qquad f_y(x,y) = x^2 + 6y.$$

ถ้าโจทย์ถามหาค่าที่จุด $(1,2)$ ให้แทนค่าหลังจากหาอนุพันธ์แล้ว:

$$f_x(1,2) = 2(1)(2) = 4, \qquad f_y(1,2) = 1^2 + 6(2) = 13.$$

ตัวอย่างนี้แสดงรูปแบบสำคัญว่า ตัวแปรที่คุณไม่ได้ใช้ในการหาอนุพันธ์จะทำตัวเหมือนตัวเลขในระหว่างการหาอนุพันธ์นั้น

ทำไม “ตรึงตัวแปรอีกตัวให้คงที่” จึงสำคัญ

เมื่อคุณคำนวณ $\frac{\partial f}{\partial x}$ คุณกำลังถามถึงการเปลี่ยนแปลงในทิศทางของ $x$ เท่านั้น ดังนั้นตัวแปรทุกตัวที่ไม่ใช่ $x$ จะต้องถูกตรึงไว้สำหรับการคำนวณนี้

นั่นจึงเป็นเหตุผลว่า

$$\frac{\partial}{\partial x}(3y^2) = 0$$

ในตัวอย่างข้างต้น นิพจน์ $3y^2$ อาจขึ้นอยู่กับ $y$ แต่จะไม่เปลี่ยนเมื่อ $x$ เปลี่ยน ถ้า $y$ ถูกตรึงให้คงที่

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

1. หาอนุพันธ์เทียบกับ $x$ แต่ยังปล่อยให้ $y$ เปลี่ยนไปด้วย
2. ลืมว่าพจน์ที่ไม่มีตัวแปรที่เลือกจะกลายเป็นค่าคงที่ ดังนั้นอนุพันธ์ของมันคือ $0$
3. สับสนระหว่าง $\frac{\partial f}{\partial x}$ และ $\frac{\partial f}{\partial y}$ ซึ่งตอบคำถามคนละแบบ
4. แทนค่าจุดก่อนหาอนุพันธ์ ซึ่งอาจทำให้มองไม่เห็นโครงสร้างของฟังก์ชัน
5. คิดว่าอนุพันธ์ย่อยต้องมีอยู่ทุกจุดโดยอัตโนมัติ ทั้งที่บางจุดอาจไม่มีได้ถ้าฟังก์ชันมีพฤติกรรมไม่ดี

อนุพันธ์ย่อยใช้เมื่อไร

อนุพันธ์ย่อยปรากฏในแคลคูลัสหลายตัวแปรทุกครั้งที่ผลลัพธ์หนึ่งค่าขึ้นอยู่กับตัวแปรนำเข้าหลายตัว

การใช้งานที่พบบ่อย ได้แก่ เกรเดียนต์ ระนาบสัมผัส การหาค่าสูงสุดต่ำสุด สมการเชิงอนุพันธ์ และแบบจำลองจากฟิสิกส์ เศรษฐศาสตร์ และวิศวกรรม ในแต่ละกรณี คำถามเชิงปฏิบัติก็คล้ายกันคือ จะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวแปรนำเข้าตัวหนึ่งเปลี่ยนไป ขณะที่ตัวอื่นคงที่

ภาพในใจที่ช่วยให้เข้าใจ

ให้นึกถึงกราฟของ $z = f(x,y)$ เป็นพื้นผิวหนึ่ง อนุพันธ์ย่อย $\frac{\partial f}{\partial x}$ จะบอกความชันของพื้นผิวนั้น ถ้าคุณตัดมันตามทิศทางที่ $y$ คงที่ ส่วนอนุพันธ์ย่อย $\frac{\partial f}{\partial y}$ ก็ทำแบบเดียวกันในทิศทางที่ $x$ คงที่

ภาพนี้มักเพียงพอที่จะทำให้แนวคิดชัดเจน ก่อนที่คุณจะไปต่อเรื่องเกรเดียนต์หรือระนาบสัมผัส

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองพิจารณา

$$g(x,y) = x^3 - 2xy + y^2.$$

จงหา $g_x$ และ $g_y$ แล้วคำนวณค่าทั้งสองที่ $(2,1)$ ถ้าคุณอยากลองต่ออีกขั้น ให้ลองทำด้วยตัวเองก่อน แล้วค่อยเปรียบเทียบกับตัวช่วยแก้โจทย์เพื่อตรวจว่าคุณได้ตรึงตัวแปรอีกตัวคงที่ทุกครั้งจริงหรือไม่