Moyennes — moyenne arithmétique, pondérée et mobile

Une moyenne est un nombre unique qui résume un ensemble de valeurs. À l’école, « moyenne » désigne souvent la moyenne arithmétique, mais une moyenne pondérée ou une moyenne mobile peut être un meilleur choix, car chacune répond à une question différente.

Utilisez la moyenne arithmétique lorsque chaque valeur doit compter de la même façon. Utilisez une moyenne pondérée lorsque certaines valeurs doivent compter davantage que d’autres. Utilisez une moyenne mobile lorsque les données sont ordonnées dans le temps et que vous voulez lisser les hausses et baisses à court terme.

Moyenne arithmétique : à utiliser quand chaque valeur doit compter également

La moyenne arithmétique est la moyenne habituelle :

$$\text{mean} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$

Elle fonctionne lorsque chaque observation doit avoir la même influence. Si une valeur doit compter plus qu’une autre, la moyenne arithmétique n’est pas le bon résumé.

La moyenne utilise toutes les valeurs de l’ensemble, ce qui la rend utile et facile à comparer entre groupes. Elle est aussi sensible aux valeurs aberrantes, donc un nombre exceptionnellement grand ou petit peut l’éloigner de ce qui semble typique.

Moyenne pondérée : à utiliser quand certaines valeurs ont plus d’importance

Une moyenne pondérée donne une importance différente aux différentes valeurs :

$$\text{weighted average} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$$

Ici, $x_i$ est une valeur et $w_i$ est son poids. Des poids plus grands donnent à une valeur plus d’influence sur le résultat.

C’est le bon outil lorsque l’énoncé indique déjà que certaines parties comptent davantage. Les notes par catégorie, les rendements d’investissement selon la part du portefeuille et les prix moyens selon les quantités suivent tous ce schéma.

Une condition est importante : le poids total $\sum w_i$ ne doit pas être égal à $0$. Le résultat n’a de sens que si les poids correspondent réellement à la situation que vous modélisez.

Moyenne mobile : à utiliser pour lisser des données dans le temps

Une moyenne mobile s’utilise pour des données listées dans l’ordre chronologique. Au lieu de faire la moyenne de tout l’ensemble d’un coup, on calcule la moyenne d’une fenêtre glissante de valeurs récentes.

Pour une moyenne mobile simple de longueur de fenêtre $k$ :

$$\text{MA}_t = \frac{x_t + x_{t-1} + \cdots + x_{t-k+1}}{k}$$

Cela aide à lisser des données bruitées pour rendre la tendance à court terme plus facile à voir. Cela ne supprime pas la variation et ne prédit pas l’avenir. Cela résume seulement les données récentes à l’aide de la fenêtre choisie.

La longueur de la fenêtre est importante. Si vous changez la fenêtre, la moyenne mobile change aussi. Une fenêtre plus longue paraît généralement plus lisse, car elle réagit plus lentement.

Un exemple détaillé qui montre la différence

Supposons que les notes d’entraînement d’un élève sur cinq semaines soient $70$, $75$, $80$, $85$ et $100$.

Si vous voulez une seule moyenne globale sur les cinq semaines, utilisez la moyenne arithmétique :

$$\frac{70 + 75 + 80 + 85 + 100}{5} = \frac{410}{5} = 82$$

Donc la moyenne arithmétique est $82$.

Supposons maintenant que l’enseignant veuille donner plus de poids au travail récent, avec les poids $1, 1, 1, 2, 2$. Alors la moyenne pondérée est

$$\frac{1(70) + 1(75) + 1(80) + 2(85) + 2(100)}{1 + 1 + 1 + 2 + 2} = \frac{595}{7} = 85$$

Donc la moyenne pondérée est $85$. Les notes les plus récentes comptent davantage, donc le résultat augmente.

Si vous voulez plutôt lisser la tendance récente, utilisez une moyenne mobile sur $3$ semaines pour les trois dernières semaines :

$$\frac{80 + 85 + 100}{3} = \frac{265}{3} \approx 88.3$$

Cela ne remplace pas la moyenne de l’ensemble du cours. Cela répond à une autre question : à quoi a ressemblé la performance récente ?

Les mêmes cinq nombres ont produit trois moyennes différentes parce que l’objectif a changé. C’est l’idée essentielle pour choisir la bonne moyenne.

Erreurs fréquentes quand on travaille avec des moyennes

Utiliser la moyenne arithmétique alors que les données ont déjà des poids

Si des catégories de test, des quantités ou des pourcentages n’ont pas la même importance, une moyenne simple peut être trompeuse. Une pondération égale n’a de sens que lorsque chaque valeur doit contribuer de façon égale.

Faire la moyenne de moyennes sans conserver les poids d’origine

Si une classe a $10$ élèves et une autre en a $30$, on ne peut généralement pas faire la moyenne des deux moyennes de classe comme s’il s’agissait de groupes de même taille. Il faut les effectifs ou les poids sous-jacents.

Oublier de diviser par le poids total

Pour une moyenne pondérée, multiplier les valeurs par les poids n’est qu’une partie du calcul. Il faut encore diviser par $\sum w_i$.

Parler d’une moyenne mobile sans préciser la longueur de la fenêtre

Une moyenne mobile est incomplète si vous ne dites pas quelle fenêtre vous avez utilisée. Une moyenne mobile sur $3$ jours et une moyenne mobile sur $30$ jours ne sont pas interchangeables.

Quand chaque type de moyenne est utilisé

Utilisez la moyenne arithmétique pour des notes, des mesures ou d’autres données où chaque observation doit compter de la même façon.

Utilisez une moyenne pondérée lorsque le problème attribue déjà une importance, comme des catégories de notes ou des quantités vendues.

Utilisez une moyenne mobile pour des données temporelles comme les températures, les ventes, le trafic ou la progression dans les études lorsque les valeurs brutes varient fortement d’une période à l’autre.

Essayez un problème similaire

Prenez cinq nombres issus de votre propre travail ou de vos données d’étude. Calculez la moyenne arithmétique, puis une moyenne pondérée où les deux dernières valeurs comptent double, puis une moyenne mobile à $3$ valeurs pour la dernière fenêtre. Cette comparaison rapide montre généralement quel type de moyenne votre problème nécessite réellement.