Diagramme en boîte — quartiles, IQR et méthode de tracé

Un diagramme en boîte, aussi appelé boîte à moustaches, montre où se situe le centre d’une série de données et à quel point elle est dispersée. Il met en évidence la médiane, les $50\%$ centraux des données et les valeurs proches des extrémités, ce qui permet de voir rapidement la forme générale.

Les repères principaux sont le premier quartile $Q_1$, la médiane, le troisième quartile $Q_3$ et l’écart interquartile $IQR = Q_3 - Q_1$. Un point est important dès le départ : les quartiles ne sont pas définis par une règle universelle. Si votre classe, votre manuel ou votre logiciel utilise une méthode particulière pour les quartiles, gardez-la de façon cohérente du début à la fin.

Ce qu’un diagramme en boîte montre d’un coup d’œil

La boîte va de $Q_1$ à $Q_3$, donc elle contient les $50\%$ centraux des données. Le trait à l’intérieur de la boîte est la médiane.

Les moustaches montrent jusqu’où les données s’étendent au-delà de la boîte. Dans certains diagrammes en boîte, elles vont jusqu’au minimum et au maximum. Dans d’autres, elles s’arrêtent aux valeurs les plus extrêmes qui ne sont pas considérées comme des valeurs aberrantes. Il faut connaître cette règle avant de décider ce que signifient les moustaches.

Comment fonctionnent les quartiles et l’IQR

L’écart interquartile mesure la dispersion de la moitié centrale des données :

$$IQR = Q_3 - Q_1$$

Un $IQR$ plus grand signifie que la moitié centrale est plus étalée. Un $IQR$ plus petit signifie qu’elle est plus resserrée.

Comment tracer un diagramme en boîte étape par étape

Utilisez le même ordre à chaque fois :

1. Rangez les données de la plus petite à la plus grande.
2. Trouvez la médiane.
3. Trouvez $Q_1$ et $Q_3$ en utilisant la convention de quartiles que vous devez appliquer.
4. Tracez une droite graduée et placez $Q_1$, la médiane et $Q_3$.
5. Dessinez la boîte de $Q_1$ à $Q_3$ et le trait de la médiane à l’intérieur.
6. Ajoutez les moustaches selon la règle attendue dans votre cours ou par votre logiciel.

Exemple détaillé : trouver les quartiles pour un diagramme en boîte

Commencez avec la série de données ordonnée

$$2,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,\ 9,\ 12,\ 15,\ 18$$

Il y a $9$ valeurs, donc la médiane est la cinquième valeur :

$$\text{median} = 8$$

Pour cet exemple, utilisez la règle courante en classe qui exclut la médiane globale lorsqu’on cherche les moitiés inférieure et supérieure.

La moitié inférieure est

$$2,\ 4,\ 5,\ 7$$

donc

$$Q_1 = \frac{4 + 5}{2} = 4.5$$

La moitié supérieure est

$$9,\ 12,\ 15,\ 18$$

donc

$$Q_3 = \frac{12 + 15}{2} = 13.5$$

Calculez maintenant l’écart interquartile :

$$IQR = 13.5 - 4.5 = 9$$

On obtient ainsi les repères essentiels de la boîte :

$$Q_1 = 4.5,\quad \text{median} = 8,\quad Q_3 = 13.5$$

Si les moustaches vont jusqu’au minimum et au maximum, elles s’étendent jusqu’à $2$ et $18$. La boîte va donc de $4.5$ à $13.5$, le trait de médiane est à $8$, et le diagramme complet s’étend de $2$ à $18$.

Comment lire rapidement un diagramme en boîte

Commencez par la médiane pour repérer le centre des données.

Regardez ensuite la largeur de la boîte. Une boîte étroite signifie que la moitié centrale est resserrée. Une boîte large signifie qu’elle est plus dispersée.

Enfin, comparez les moustaches et la position de la médiane à l’intérieur de la boîte. Si un côté est nettement plus long, la distribution peut être plus étirée de ce côté-là.

Erreurs fréquentes avec les diagrammes en boîte

Ne sautez pas l’étape du tri. Si les données ne sont pas ordonnées, la médiane et les quartiles seront faux.

Ne supposez pas que tous les diagrammes en boîte utilisent la même règle pour les quartiles ou les moustaches. Deux diagrammes corrects peuvent avoir un aspect différent s’ils ont été construits avec des conventions différentes.

Ne lisez pas les bords de la boîte comme le minimum et le maximum. Ils indiquent généralement plutôt $Q_1$ et $Q_3$.

Ne supposez pas qu’une boîte plus large signifie « plus de données » dans cette zone. Cela signifie que les valeurs y couvrent un intervalle plus large sur la droite graduée.

Quand les diagrammes en boîte sont utiles

Les diagrammes en boîte sont utiles quand vous voulez une vue rapide du centre et de la dispersion sans lister chaque valeur. Ils sont particulièrement pratiques pour comparer deux groupes ou plus côte à côte.

Ils sont courants en cours de statistique, dans les rapports de laboratoire et dans toute situation où la médiane et la moitié centrale des données comptent davantage qu’une liste détaillée de toutes les valeurs.

Essayez votre propre version

Prenez une petite série de données déjà triée, trouvez le résumé à cinq nombres, puis esquissez le diagramme en boîte à la main. Comparez-le ensuite avec un outil de tracé pour vérifier si votre règle de quartiles et votre règle de moustaches correspondent au résultat.