Moyenne, médiane, mode — mesures de tendance centrale

La moyenne, la médiane et le mode sont trois façons de décrire le centre d’une série de données. La moyenne est la valeur moyenne, la médiane est la valeur du milieu après tri, et le mode est la valeur qui apparaît le plus souvent. Si vous voulez une règle rapide : utilisez la moyenne quand les données sont assez équilibrées, la médiane quand des valeurs extrêmes risquent de déformer le résultat, et le mode quand la valeur la plus fréquente est la plus importante.

Ces mesures peuvent donner des réponses différentes, car elles définissent le « centre » de façons différentes. C’est précisément pour cela qu’elles sont utiles.

Moyenne, médiane et mode en un coup d’œil

La moyenne utilise toutes les valeurs de la série :

$$\text{mean} = \frac{\text{sum of all values}}{\text{number of values}}$$

Comme chaque valeur compte, un nombre exceptionnellement grand ou petit peut éloigner la moyenne de ce qui paraît typique.

La médiane est la valeur du milieu une fois les données rangées dans l’ordre. Si le nombre de valeurs est impair, il y a une seule valeur centrale. Si le nombre de valeurs est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.

Le mode est la valeur qui apparaît le plus souvent. Une série de données peut avoir un seul mode, plusieurs modes, ou aucun mode si aucune valeur n’apparaît plus souvent que les autres.

Exemple détaillé avec une valeur extrême

Utilisez la série de données $2, 3, 3, 4, 20$.

La moyenne est

$$\frac{2 + 3 + 3 + 4 + 20}{5} = \frac{32}{5} = 6.4$$

La médiane est $3$ parce que $3$ est la valeur du milieu dans la liste triée.

Le mode est aussi $3$ parce qu’il apparaît plus souvent que toute autre valeur.

Cet exemple est important parce que les données contiennent une valeur extrême : $20$. Cette seule valeur fait monter la moyenne à $6.4$, tandis que la médiane reste à $3$. Si votre objectif est de décrire une valeur typique pour cette série, la médiane est généralement le meilleur résumé.

Erreurs fréquentes avec la moyenne, la médiane et le mode

Ne pas trier avant de trouver la médiane

La médiane dépend de l’ordre. Si la liste n’est pas d’abord triée, le nombre du milieu que vous choisissez n’est pas fiable.

Considérer que « moyenne » veut toujours dire moyenne arithmétique

Dans le langage courant, on emploie souvent « moyenne » de façon vague. En statistique, il faut être plus précis. Parfois, la médiane ou le mode donne un résumé plus utile.

Supposer que toute série de données a un mode

L’ensemble $1, 2, 3, 4$ n’a pas de mode parce qu’aucune valeur ne se répète. Une série peut aussi avoir deux modes ou plus si plusieurs valeurs ont la fréquence la plus élevée.

Ignorer les valeurs extrêmes

Si une valeur est beaucoup plus grande ou plus petite que les autres, la moyenne peut beaucoup se déplacer. Cela ne rend pas la moyenne fausse, mais cela change l’histoire que raconte ce nombre.

Quand utiliser chaque mesure de tendance centrale

Utilisez la moyenne quand les données sont assez équilibrées et que chaque valeur doit influencer le résultat. Les notes d’un contrôle cohérent en sont un exemple simple.

Utilisez la médiane quand des valeurs extrêmes risquent de déformer le centre. Les revenus, les loyers et les prix des logements sont des cas fréquents, car quelques très grandes valeurs peuvent tirer la moyenne vers le haut.

Utilisez le mode quand la valeur la plus fréquente compte davantage que le centre arithmétique. Les tailles de vêtements vendues dans un magasin ou la réponse la plus fréquente à un sondage correspondent à ce cas.

Pourquoi les élèves apprennent cette idée

Les mesures de tendance centrale sont souvent la première étape pour donner du sens à des données. Elles vous aident à résumer une liste de valeurs avant de comparer des groupes, d’étudier la dispersion ou de décider si les données sont asymétriques.

Si les données sont numériques et assez stables, la moyenne est souvent informative. Si les données sont asymétriques, la médiane est souvent plus sûre. Si la question porte sur ce qui arrive le plus souvent, le mode est parfois le seul à y répondre directement.

Essayez un problème similaire

Prenez la liste $5, 6, 6, 7, 30$ et trouvez les trois mesures. Remplacez ensuite $30$ par $8$ et comparez ce qui change. Ce seul ajustement rend le rôle des valeurs extrêmes beaucoup plus facile à voir.