Récapitulatif des formules de suites numériques

Les formules de suites permettent de calculer rapidement le $n$ème terme ainsi que la somme des $n$ premiers termes d'une suite suivant une règle précise. Aux examens, on vous interrogera généralement sur les suites arithmétiques et géométriques. La première étape consiste donc à distinguer si "la différence est constante" ou si "le rapport est constant".

Voici les quatre formules essentielles à connaître.

Aperçu rapide des formules

Pour une suite arithmétique avec une raison $d$ :

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\{2a_1 + (n-1)d\}$

Pour une suite géométrique avec une raison $r$ :

$a_n = a_1 r^{n-1}$

$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} \quad \text{if } r \ne 1$

Et si $r = 1$, tous les termes sont égaux à $a_1$, donc :

$S_n = na_1$

Ici, $a_n$ représente le $n$ème terme, et $S_n$ est la somme du premier terme jusqu'au $n$ème terme. Il est crucial de vérifier ce que l'énoncé demande pour ne pas confondre les formules.

Comment distinguer les suites arithmétiques et géométriques

Une suite arithmétique est une suite où la différence entre deux termes consécutifs est constante. Par exemple, dans $3, 7, 11, 15, \dots$, la valeur augmente de $4$ à chaque fois, donc la raison est $d=4$.

Une suite géométrique est une suite où le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Par exemple, dans $2, 6, 18, 54, \dots$, la valeur est multipliée par $3$ à chaque fois, donc la raison est $r=3$.

C'est la première étape indispensable. Si vous utilisez une formule de suite géométrique alors que la différence est constante (ou inversement), tous vos calculs suivants seront faux.

Comprendre intuitivement la structure des formules

Le terme général d'une suite arithmétique $a_n = a_1 + (n-1)d$ est le résultat de l'ajout de la raison $n-1$ fois au premier terme. On peut voir cela comme le fait d'ajouter la même valeur à chaque fois que l'on avance d'un cran.

Le terme général d'une suite géométrique $a_n = a_1r^{n-1}$ est le résultat de la multiplication du premier terme par la raison $n-1$ fois. C'est une structure où la valeur augmente ou diminue selon un même facteur à chaque étape.

Ainsi, une suite arithmétique évolue avec un écart constant, tandis qu'une suite géométrique accumule les variations. Notez toutefois que pour une suite géométrique, si la raison est $0 < r < 1$, les termes deviennent progressivement plus petits.

Exemple : Calculer le terme général et la somme

Observons la suite $5, 8, 11, 14, \dots$.

La différence est toujours de $3$, c'est donc une suite arithmétique avec un premier terme $a_1=5$ et une raison $d=3$.

Calcul du 10ème terme

En utilisant la formule du terme général des suites arithmétiques :

$a_n = a_1 + (n-1)d$

On obtient donc :

$a_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 = 5 + 27 = 32$

Le 10ème terme est donc $32$.

Calcul de la somme des 10 premiers termes

En utilisant la formule de la somme :

$S_n = \frac{n}{2}(a_1+a_n)$

En remplaçant par $n=10$, $a_1=5$ et $a_{10}=32$ :

$S_{10} = \frac{10}{2}(5+32) = 5 \cdot 37 = 185$

L'essentiel dans cet exemple est de bien distinguer les symboles. $a_{10}$ représente un seul terme, tandis que $S_{10}$ est la valeur obtenue en additionnant les 10 premiers termes. Lisez attentivement si l'on demande le "10ème terme" ou la "somme des 10 premiers termes".

Erreurs fréquentes à éviter

Confondre le terme général et la formule de la somme

Il arrive souvent que l'on utilise la formule de $S_n$ alors qu'il fallait calculer $a_n$, ou inversement, que l'on s'arrête au calcul du terme général alors qu'on demandait la somme. Vérifiez bien s'il s'agit d'un "terme spécifique" ou d'une "somme de termes".

Analyser la différence pour une suite géométrique

Par exemple, $2, 4, 8, 16, \dots$ n'est pas une suite arithmétique car la différence n'est pas constante. Pour ce type de suite, il faut regarder le rapport (la raison).

Oublier les conditions de la formule de somme géométrique

$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$

Cette formule ne peut être utilisée directement que si $r \ne 1$. Si $r=1$, le dénominateur devient $0$, et il faut donc traiter le cas séparément.

Oublier le $n-1$

Dans la formule du terme général, $a_n$ doit correspondre à l'état où l'on n'a pas encore bougé depuis le premier terme, soit $n=1$. C'est pourquoi on retrouve $n-1$ aussi bien dans les suites arithmétiques que géométriques.

Quand utiliser ces formules ?

Ces formules sont indispensables pour les examens, mais elles servent aussi à décrire des situations de croissance ou de répétition régulière. Par exemple, une épargne qui augmente d'un montant fixe chaque mois ressemble à une suite arithmétique, tandis qu'un phénomène augmentant selon un pourcentage constant peut être modélisé par une suite géométrique.

Cependant, vérifiez toujours si la situation réelle suit exactement un modèle arithmétique ou géométrique. Les formules ne s'appliquent que si la règle est respectée.

Méthode de résolution étape par étape

Pour résoudre un problème de suites, suivez généralement cet ordre :

1. Vérifiez si la différence est constante ou si le rapport est constant.
2. Vérifiez si la valeur recherchée est $a_n$ ou $S_n$.
3. Si c'est une suite arithmétique, trouvez $d$ ; si c'est une suite géométrique, trouvez $r$.
4. Appliquez la formule correspondant aux conditions.

Exercices suggérés

À partir de la suite exemple $5, 8, 11, 14, \dots$, essayez de calculer vous-même $a_{20}$ et $S_{20}$. Ensuite, appliquez les mêmes questions à la suite géométrique $3, 6, 12, 24, \dots$ pour mieux comprendre quand utiliser la formule du terme général par rapport à celle de la somme.