Suites et séries — PA, PG, PH et convergence

Une suite est une liste ordonnée de nombres. Une série est ce qu’on obtient quand on additionne les termes de cette liste. Dans ce sujet, PA signifie progression arithmétique, PG signifie progression géométrique, PH signifie progression harmonique, et la convergence demande si les termes ou les sommes partielles s’approchent d’une valeur finie.

Si vous voulez la version courte : une PA a une différence constante, une PG a un rapport constant, et une PH est une suite dont les inverses forment une PA. Pour les séries géométriques infinies, la somme existe seulement lorsque $|r| < 1$.

Suite ou série : sachez à quelle question vous répondez

Si vous écrivez la liste

$$2,\ 5,\ 8,\ 11,\dots$$

vous avez une suite. Si vous écrivez la somme

$$2 + 5 + 8 + 11 + \dots$$

vous avez une série.

Cette différence indique quel outil utiliser. « Trouver le $n$-ième terme » est une question sur les suites. « Trouver la somme des $n$ premiers termes » est une question sur les séries.

PA, PG et PH : comment reconnaître chaque motif

Progression arithmétique (PA)

Une PA varie de la même quantité à chaque étape. Si le premier terme est $a$ et la raison est $d$, alors

$$a_n = a + (n-1)d$$

et la somme des $n$ premiers termes est

$$S_n = \frac{n}{2}\left[2a + (n-1)d\right]$$

ou, de façon équivalente,

$$S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$$

Exemple : $4, 7, 10, 13, \dots$ est une PA parce que chaque terme augmente de $3$.

Progression géométrique (PG)

Une PG varie par le même facteur à chaque étape. Si le premier terme est $a$ et la raison est $r$, alors

$$a_n = ar^{n-1}$$

et pour $r \ne 1$,

$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

Pour une série géométrique infinie, la somme existe seulement lorsque $|r| < 1$. Dans ce cas,

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$$

Exemple : $3, 6, 12, 24, \dots$ est une PG parce que chaque terme est multiplié par $2$.

Progression harmonique (PH)

Une PH est définie à partir des inverses. Une suite non nulle $a_1, a_2, a_3, \dots$ est en PH si

$$\frac{1}{a_1},\ \frac{1}{a_2},\ \frac{1}{a_3},\dots$$

est une PA.

Donc si

$$\frac{1}{a_n} = A + (n-1)d$$

avec un dénominateur non nul, alors

$$a_n = \frac{1}{A + (n-1)d}$$

Exemple : $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \dots$ est une PH parce que ses inverses $2, 4, 6, 8, \dots$ forment une PA.

La PH est surtout une idée de classification en mathématiques scolaires. Contrairement à la PA et à la PG, elle n’a pas une formule de somme introductive standard utilisée dans la plupart des exercices de base.

Convergence : quand un processus infini a une limite finie

Une suite converge si ses termes s’approchent d’une limite fixe.

Par exemple,

$$\frac{1}{n} \to 0 \quad \text{quand } n \to \infty$$

donc la suite $\left(\frac{1}{n}\right)$ converge vers $0$.

Une série converge si ses sommes partielles s’approchent d’une limite fixe. Si

$$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$$

et que les nombres $S_n$ s’approchent d’une certaine valeur finie $S$, alors la série infinie converge vers $S$.

C’est le point que beaucoup d’élèves manquent : une suite convergente ne donne pas automatiquement une série convergente. Le fait que les termes tendent vers $0$ est nécessaire pour la convergence d’une série, mais cette condition seule ne suffit pas.

Par exemple, la suite harmonique

$$1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\dots$$

converge bien vers $0$ comme suite de termes, mais la série harmonique

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$$

ne converge pas vers une somme finie.

Exemple résolu : tester une PG et sommer la série infinie

Considérons la série géométrique infinie

$$6 + 3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \dots$$

Elle provient de la PG

$$6,\ 3,\ \frac{3}{2},\ \frac{3}{4},\dots$$

Ici, le premier terme est $a = 6$ et la raison est

$$r = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Comme $|r| = \frac{1}{2} < 1$, la série infinie converge. Sa somme est

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{6}{1-\frac{1}{2}} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$$

L’étape clé consiste à vérifier la condition avant d’utiliser la formule. Si $|r| < 1$, une série géométrique infinie converge. Si $|r| \ge 1$, elle ne converge pas vers une somme finie.

Erreurs fréquentes avec les suites, les séries et la convergence

Confondre un terme et une somme

Le terme $a_5$ et la somme $S_5$ ne sont pas le même type de réponse. L’un est un terme dans une liste. L’autre est un total.

Utiliser un test de différence sur une PG

Si le motif consiste à multiplier par $2$, c’est une suite géométrique, même si les nombres augmentent régulièrement. Différence constante et rapport constant sont deux tests différents.

Oublier la condition de convergence pour une PG infinie

La formule

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$$

fonctionne seulement lorsque $|r| < 1$.

Penser que « les termes tendent vers zéro » suffit

Pour les séries, ce n’est qu’une première vérification. La série harmonique est le contre-exemple classique.

Traiter une PH comme « n’importe quelle suite avec des fractions »

Une PH n’est pas simplement une suite de fractions. Ses inverses doivent former une PA.

Où l’on utilise les PA, PG, PH et la convergence

La PA modélise un changement additif régulier, comme épargner la même somme chaque mois. La PG modélise une multiplication répétée, comme une croissance composée ou une décroissance répétée. La PH apparaît en algèbre scolaire et dans les problèmes où les relations d’inverse constituent le motif naturel.

La convergence est importante dès que le processus est infini ou très long. Elle apparaît dans les séries infinies, les méthodes d’approximation, la finance, et plus tard dans des sujets comme les séries entières et le calcul différentiel et intégral.

Essayez un problème similaire

Prenez la PG

$$8,\ 4,\ 2,\ 1,\dots$$

Trouvez la raison, puis décidez si la série infinie $8 + 4 + 2 + 1 + \dots$ converge. Ensuite, comparez-la avec la PA $8, 4, 0, -4, \dots$ pour voir à quel point le test « différence ou rapport » permet de distinguer rapidement les deux motifs.

Si vous voulez aller plus loin, essayez votre propre version avec un premier terme et une raison différents, puis vérifiez la condition de convergence avant de calculer une somme infinie.