Probabilidad — conceptos básicos y fórmulas

La probabilidad te dice qué tan probable es que ocurra un evento. En problemas básicos, suele expresarse en una escala de $0$ a $1$, donde $0$ significa imposible y $1$ significa seguro.

Cuando los resultados son igualmente probables, la fórmula básica de la probabilidad es:

$$P(A) = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$$

Esa condición importa. Esta razón funciona en casos como un dado justo o una baraja bien mezclada. No funciona automáticamente cuando algunos resultados son más probables que otros.

Definición de probabilidad: resultados y eventos

Un resultado es un posible resultado individual. Un evento es un conjunto de resultados que te interesan.

Por ejemplo, al lanzar un dado justo, obtener un $4$ es un resultado. Obtener un número par es un evento porque incluye $2$, $4$ y $6$.

Si el dado es justo, la probabilidad de obtener un número par es:

$$P(\text{even}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Eso significa que el evento ocurre la mitad de las veces en el modelo ideal de un dado justo. La probabilidad es una forma precisa de describir la incertidumbre, no solo una fórmula para memorizar.

Fórmulas básicas de probabilidad que debes conocer

Fórmula básica para resultados igualmente probables

Usa

$$P(A) = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$$

solo cuando cada resultado sea igualmente probable.

Regla del complemento

A veces es más fácil encontrar la probabilidad de que un evento no ocurra:

$$P(A^c) = 1 - P(A)$$

Esto es especialmente útil en expresiones como "al menos uno" o "no".

Regla de la suma

Para encontrar la probabilidad de que ocurra $A$ o $B$, usa:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Se resta la parte común porque los resultados que pertenecen a ambos eventos, si no, se contarían dos veces.

Si los eventos son mutuamente excluyentes, entonces $P(A \cap B) = 0$, así que la regla queda:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Regla de la multiplicación

Para eventos independientes:

$$P(A \cap B) = P(A)P(B)$$

Si el segundo evento depende del primero, usa probabilidad condicional en su lugar:

$$P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A)$$

La condición es la parte importante. No multipliques sin más, a menos que la independencia esté justificada.

Ejemplo resuelto: probabilidad de obtener al menos un $6$ en dos lanzamientos

Supón que lanzas un dado justo dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un $6$?

Este es un buen caso para usar la regla del complemento. En lugar de contar todos los casos con un $6$, primero encuentra la probabilidad de no obtener ningún $6$.

En un lanzamiento:

$$P(\text{no }6) = \frac{5}{6}$$

Como los dos lanzamientos son independientes, la probabilidad de no obtener ningún $6$ en ambos lanzamientos es:

$$P(\text{no }6\text{ on both rolls}) = \frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6} = \frac{25}{36}$$

Ahora usa el complemento:

$$P(\text{at least one }6) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$

Así que la probabilidad de obtener al menos un $6$ en dos lanzamientos es:

$$\frac{11}{36}$$

Este ejemplo muestra dos ideas clave al mismo tiempo: la independencia te permite multiplicar, y los problemas de "al menos uno" suelen resolverse más fácilmente con el complemento.

Errores comunes en probabilidad

Un error común es usar la fórmula de razón cuando los resultados no son igualmente probables. La fórmula $P(A) = \frac{\text{favorable}}{\text{total}}$ solo funciona cuando cada resultado tiene la misma probabilidad.

Otro error es sumar probabilidades de eventos que se superponen sin restar la parte común. Si un resultado pertenece a ambos eventos, la suma simple da un valor demasiado grande.

Los estudiantes también confunden "y" con "o". En probabilidad, "y" suele indicar una intersección como $A \cap B$, mientras que "o" indica una unión como $A \cup B$.

Un último error es multiplicar eventos que no son independientes. Si un resultado cambia la probabilidad del siguiente, necesitas un paso de probabilidad condicional.

Cuándo se usan las fórmulas de probabilidad

La probabilidad se usa en cualquier situación en la que las personas razonan sobre la incertidumbre. Los pronósticos del tiempo, las pruebas médicas, los seguros, el control de calidad, las encuestas y los juegos dependen de ella.

El modelo exacto depende de la situación. Algunos problemas usan resultados igualmente probables, mientras que otros usan datos, supuestos o frecuencias medidas. Las fórmulas siguen siendo útiles, pero solo cuando sus condiciones coinciden con el problema.

Prueba un problema de probabilidad similar

Intenta sacar una carta de una baraja estándar y hallar la probabilidad de sacar un corazón. Luego cambia la pregunta a "un corazón o un rey" y decide si necesitas la regla de la suma.

Si quieres comprobar un planteamiento parecido después de hacerlo por tu cuenta, prueba tu propia versión en un solucionador matemático y compara las definiciones de los eventos antes de comparar el número final.