Distribución binomial — fórmula, condiciones y ejemplo

La distribución binomial te da la probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos en $n$ ensayos. Úsala solo cuando cada ensayo tenga dos resultados para el evento que te interesa, los ensayos sean independientes y la probabilidad de éxito se mantenga igual cada vez.

Si una de esas condiciones falla, las cuentas pueden parecer correctas, pero el modelo en sí será incorrecto.

Qué significa la distribución binomial

Supón que repites el mismo tipo de ensayo $n$ veces. En cada ensayo, etiquetas un resultado como éxito y el otro como fracaso.

Si la probabilidad de éxito es $p$ en cada ensayo, entonces la variable aleatoria $X$, el número de éxitos, puede seguir una distribución binomial.

A menudo verás esto escrito como

$$X \sim \text{Bin}(n,p)$$

Esta notación significa:

• $n$ es el número de ensayos
• $p$ es la probabilidad de éxito en cada ensayo
• $X$ cuenta cuántos éxitos ocurren

Este es un modelo de conteo. No pregunta en qué ensayo ocurrió el éxito. Pregunta cuántos éxitos hubo en total.

Fórmula de la distribución binomial

Para exactamente $k$ éxitos, la probabilidad es

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

Cada parte cumple una función:

• $\binom{n}{k}$ cuenta de cuántas maneras se pueden distribuir los $k$ éxitos entre los $n$ ensayos
• $p^k$ da la probabilidad de esos $k$ éxitos
• $(1-p)^{n-k}$ da la probabilidad de los fracasos restantes

La fórmula funciona para $k=0,1,2,\dots,n$.

Cuándo puedes usar la fórmula binomial

Usa un modelo binomial solo cuando todas estas condiciones se cumplen:

Número fijo de ensayos

Sabes de antemano cuántos ensayos hay. Por ejemplo, lanzar una moneda $8$ veces cumple esta condición.

Dos resultados por ensayo

Para el evento que estás siguiendo, cada ensayo debe clasificarse como éxito o fracaso. Un lanzamiento de dado también puede encajar si defines el éxito como algo como “sacar un $6$”.

Ensayos independientes

Un ensayo no debe cambiar la probabilidad del siguiente. El muestreo con reemplazo puede cumplir esta condición. El muestreo sin reemplazo en un grupo pequeño normalmente no la cumple.

Probabilidad de éxito constante

El valor de $p$ debe mantenerse igual de un ensayo a otro. Si la probabilidad cambia cada vez, un modelo binomial simple no es adecuado.

Ejemplo resuelto: exactamente 3 caras en 5 lanzamientos

Supón que una moneda sesgada cae cara con probabilidad $0.6$. La lanzas $5$ veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente $3$ caras?

Tomemos cara como el evento de éxito. Entonces

$$n=5,\quad p=0.6,\quad k=3$$

Usa la fórmula:

$$P(X=3)=\binom{5}{3}(0.6)^3(0.4)^2$$

Ahora calcula cada parte:

$$\binom{5}{3}=10,\quad (0.6)^3=0.216,\quad (0.4)^2=0.16$$

Entonces

$$P(X=3)=10(0.216)(0.16)=0.3456$$

La probabilidad de obtener exactamente $3$ caras es $0.3456$, o $34.56\%$.

¿Por qué el modelo binomial es válido aquí? El experimento tiene un $n$ fijo, dos resultados por lanzamiento, ensayos independientes y la misma probabilidad $p=0.6$ en cada lanzamiento.

Un atajo rápido para “al menos una”

Para preguntas como “al menos un éxito”, el complemento suele ser más rápido que sumar muchos términos.

Por ejemplo, si $X \sim \text{Bin}(5,0.6)$, entonces

$$P(X \ge 1)=1-P(X=0)=1-(0.4)^5$$

Esto funciona porque “al menos un éxito” es el complemento de “cero éxitos”.

Errores comunes en problemas de distribución binomial

Ignorar las condiciones

Un error común es usar la fórmula binomial cuando los ensayos no son independientes. Un ejemplo clásico es extraer elementos sin reemplazo de un conjunto pequeño y seguir suponiendo que $p$ nunca cambia.

Interpretar mal qué significa “éxito”

En un problema binomial, éxito no tiene que significar algo bueno. Solo significa el resultado que elegiste contar.

Confundir “exactamente”, “al menos” y “como máximo”

Estas expresiones llevan a cálculos distintos incluso en el mismo experimento. “Exactamente $3$” significa un solo término, “al menos $3$” significa varios términos y “como máximo $3$” significa una suma diferente.

Cuándo se usa la distribución binomial

La distribución binomial aparece cuando cuentas resultados repetidos de tipo sí o no, como defectuoso frente a no defectuoso, aprobado frente a suspendido, clic frente a no clic, o cara frente a cruz.

Es útil en control de calidad, muestreo en encuestas bajo los supuestos adecuados, preguntas de fiabilidad y modelos básicos de probabilidad en estadística.

Prueba un problema parecido

Prueba tu propia versión con $8$ lanzamientos de una moneda donde $p=0.4$. Primero calcula $P(X=2)$ y luego calcula $P(X \ge 1)$ usando el complemento. Si quieres otro caso, compara qué cambia cuando los ensayos dejan de ser independientes.