Representación en espacio de estados

La representación en espacio de estados reescribe un sistema dinámico como un conjunto de ecuaciones de primer orden. En lugar de trabajar con una sola ecuación diferencial de orden superior, sigues un vector de estado que contiene la información necesaria para predecir qué ocurre después.

Si buscaste cómo convertir una ecuación diferencial a forma de espacio de estados, esta es la idea central: elegir variables de estado, escribir una ecuación para la derivada de cada variable y mantener el modelo en primer orden.

La representación en espacio de estados en una definición

En general, un modelo en espacio de estados puede escribirse como

$$x'(t) = f(x(t), u(t), t)$$

Aquí $x(t)$ es el vector de estado y $u(t)$ es una entrada cuando el sistema la tiene. Si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la misma idea toma la forma matricial

$$x'(t) = Ax(t) + Bu(t), \qquad y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

Esa versión matricial es común en control y ecuaciones diferenciales, pero el espacio de estados es más amplio que el caso lineal.

Qué significa el estado

El estado es el conjunto de magnitudes actuales que te permite determinar el comportamiento futuro una vez conocida la entrada. Para un objeto en movimiento, la posición por sí sola normalmente no basta. La posición y la velocidad juntas a menudo sí.

Por eso la representación en espacio de estados es útil. Convierte un problema de evolución temporal en una forma estándar de primer orden que es más fácil de analizar, simular y conectar con métodos matriciales.

Por qué reescribir un sistema de esta manera

Muchos modelos comienzan como ecuaciones diferenciales de orden superior. La forma en espacio de estados los reescribe sin cambiar la dinámica subyacente.

Esto importa porque los sistemas de primer orden encajan en una sola estructura. Una vez que un modelo está en esa estructura, resulta más fácil hablar de condiciones iniciales, entradas, salidas y estabilidad de manera consistente.

Ejemplo resuelto: convertir una ecuación de segundo orden a espacio de estados

Empieza con

$$y'' + 3y' + 2y = u(t)$$

Aquí $u(t)$ es una entrada. Elige variables de estado que capturen la condición actual del sistema:

$$x_1 = y, \qquad x_2 = y'$$

Ahora escribe una ecuación de primer orden para cada variable de estado. Como $x_1 = y$,

$$x_1' = x_2$$

Como $x_2 = y'$, también tenemos $x_2' = y''$. Reordenando la ecuación original se obtiene

$$y'' = -3y' - 2y + u(t)$$

Sustituye $y = x_1$ y $y' = x_2$:

$$x_2' = -2x_1 - 3x_2 + u(t)$$

Así, las ecuaciones de estado son

$$\begin{aligned} x_1' &= x_2 \\ x_2' &= -2x_1 - 3x_2 + u(t) \end{aligned}$$

En forma vectorial, con

$$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},$$

esto se convierte en

$$x' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} u(t)$$

Si la salida es la magnitud original $y$, entonces

$$y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} x$$

El paso clave es la conversión de una ecuación de segundo orden en dos ecuaciones de primer orden. Ese es el núcleo de la representación en espacio de estados.

Qué observar en este ejemplo

Las variables de estado se eligieron por una razón. Hacen posible escribir el modelo como un sistema de primer orden.

Observa también que la salida $y$ no es lo mismo que el vector de estado completo. En este ejemplo, $y = x_1$, mientras que el estado completo es $(x_1, x_2)$. Estas ideas pueden coincidir, pero no son automáticamente idénticas.

Errores comunes al convertir a la forma de espacio de estados

Confundir el estado con la salida

El estado contiene las variables internas necesarias para hacer evolucionar el sistema. La salida es cualquier magnitud que elijas observar. A veces coinciden, pero no son automáticamente lo mismo.

Suponer que la representación es única

Normalmente no lo es. Distintas elecciones de variables de estado pueden describir la misma dinámica, siempre que capturen suficiente información.

Olvidar el requisito de primer orden

Un modelo en espacio de estados se escribe como ecuaciones de primer orden en las variables de estado. Si todavía queda una derivada de segundo orden de una variable de estado, la reescritura no está terminada.

Tratar todo modelo como lineal

La forma matricial con $A$, $B$, $C$ y $D$ solo se aplica cuando las ecuaciones son lineales en las variables de estado elegidas. Los sistemas no lineales también usan espacio de estados, pero se escriben con funciones en lugar de matrices constantes.

Dónde se usa la representación en espacio de estados

La representación en espacio de estados aparece en ecuaciones diferenciales, teoría de control, procesamiento de señales, robótica y física. Es especialmente útil cuando te importa cómo cambia un sistema con el tiempo y cómo las entradas afectan ese cambio.

Si el modelo es lineal, los métodos matriciales se vuelven especialmente útiles. Por ejemplo, los valores propios de la matriz $A$ pueden ayudar a describir crecimiento, decaimiento u oscilación, pero solo bajo las suposiciones incorporadas en el modelo.

Prueba tu propia versión

Toma

$$y'' + 4y' + 5y = 0$$

y elige $x_1 = y$, $x_2 = y'$. Reescríbela como un sistema de primer orden y luego identifica la matriz $A$. Si eso te queda claro, prueba un problema parecido con un término de entrada y observa cómo aparece la matriz $B$.