Transformada de Laplace — tabla, propiedades e inversa

La transformada de Laplace convierte una función del dominio del tiempo $f(t)$ en una nueva función $F(s)$ con la que a menudo es más fácil trabajar. En un curso introductorio, su función principal es simple: convertir ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales en problemas algebraicos y luego usar la transformada inversa de Laplace para volver a $t$.

Para la transformada de Laplace unilateral que se usa en la mayoría de los cursos de ecuaciones diferenciales, la definición es

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt$$

cuando la integral converge.

Si $\operatorname{Re}(s)$ es lo bastante grande, el factor $e^{-st}$ atenúa el comportamiento para valores grandes de $t$ y la integral impropia puede mantenerse finita. Esa condición de convergencia forma parte de la transformada, no es una nota adicional sin importancia.

Para qué sirve la transformada de Laplace

La transformada no cambia el significado del problema. Lo reformula en una forma en la que derivar se convierte en álgebra.

Por eso el método es especialmente útil para problemas lineales de valor inicial. Se conserva la condición inicial, pero la ecuación en sí normalmente se vuelve más fácil de resolver.

Tabla de la transformada de Laplace: pares comunes

Estas son las entradas de la tabla que los estudiantes usan con más frecuencia. La condición de la columna derecha importa porque indica dónde existe la transformada.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}$	Válida cuando
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(bt)$	$\frac\{b\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(bt)$	$\frac\{s\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$

Si trabajas solo con ejemplos de clase de valores reales, esas condiciones suelen aparecer como desigualdades como $s > 0$ o $s > a$. De forma más general, la transformada se define en una región del plano complejo $s$.

Propiedades de la transformada de Laplace que hacen casi todo el trabajo

No necesitas una lista larga. Estas tres propiedades resuelven una gran parte de los problemas de un primer curso.

Linealidad

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

Esto te permite separar una suma en transformadas más simples.

Regla de la derivada

Si $f$ es continua a trozos en todo intervalo finito y de orden exponencial, entonces

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

Este es el paso clave para resolver problemas de valor inicial. El valor inicial aparece automáticamente en lugar de añadirse después a mano.

Desplazamiento exponencial

Si $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ y ambas transformadas existen, entonces

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

Por eso muchas entradas de la tabla están relacionadas por un simple desplazamiento en $s$.

Transformada inversa de Laplace: qué significa

La transformada inversa de Laplace parte de $F(s)$ y recupera la función del dominio del tiempo $f(t)$.

En teoría existe una fórmula formal de inversión. Sin embargo, en la mayoría de los problemas de clase no se evalúa esa fórmula directamente. Se simplifica $F(s)$ hasta llevarla a formas conocidas de la tabla, a menudo con álgebra o fracciones parciales, y luego se lee la respuesta en la tabla.

Ejemplo resuelto: usar la transformada de Laplace para resolver un PVI

Considera

$$y'(t) + y(t) = 1, \qquad y(0) = 0$$

Sea

$$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$$

Aplica la transformada de Laplace a ambos lados:

$$\mathcal{L}\{y'(t)\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{1\}$$

Usa la regla de la derivada y la entrada de la tabla para $1$:

$$sY(s) - y(0) + Y(s) = \frac{1}{s}$$

Como $y(0) = 0$,

$$(s+1)Y(s) = \frac{1}{s}$$

Entonces

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)}$$

Ahora sepárala en fracciones más simples:

$$\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}$$

Aplica la transformada inversa de Laplace término a término:

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} = e^{-t}$$

Por lo tanto,

$$y(t) = 1 - e^{-t}$$

Este es el flujo completo del método de la transformada de Laplace en un solo ejemplo: transformar, resolver en $s$ y luego invertir. Una ecuación diferencial se convirtió en un problema algebraico, y la condición inicial quedó incorporada en el cálculo desde el principio.

Errores comunes con la transformada de Laplace

Olvidar la condición de convergencia

Una entrada de la tabla solo es válida donde converge la integral que la define. Si ignoras esa condición, estás dejando fuera parte de la respuesta.

Omitir el valor inicial en $\mathcal{L}\{f'(t)\}$

El término $-f(0)$ es fácil de pasar por alto. Si lo omites, la ecuación transformada normalmente resolverá el problema equivocado.

Intentar invertir demasiado pronto

Si $F(s)$ es una expresión racional, a menudo es más fácil simplificarla primero. Las fracciones parciales son un paso habitual antes de aplicar la transformada inversa.

Cuándo se usa la transformada de Laplace

La transformada de Laplace es especialmente útil para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con condiciones iniciales. Ese es su uso típico en clase.

También aparece en análisis de circuitos, sistemas de control, modelado de señales y en cualquier contexto donde haya que manejar de forma sistemática respuestas exponenciales y entradas en el dominio del tiempo.

Prueba tu propia versión

Prueba el mismo procedimiento con

$$y'(t) + 2y(t) = 3, \qquad y(0) = 1$$

Transforma la ecuación, resuelve para $Y(s)$ y luego invierte. Si quieres una comprobación rápida, compara tu $y(t)$ final con la condición inicial original y con la ecuación diferencial en $t=0$.