Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz permite determinar cuántas raíces de un polinomio característico están en el semiplano derecho sin resolver directamente las raíces. En sistemas de control, esto proporciona una prueba rápida para saber si un sistema en tiempo continuo es asintóticamente estable.

Para un polinomio con coeficientes reales

$$p(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0,$$

con $a_n > 0$, construye la tabla de Routh y observa su primera columna. Después de tratar cualquier caso especial, como un cero en la primera columna o una fila completa de ceros, el número de cambios de signo en esa primera columna es igual al número de raíces con parte real positiva. Si no hay cambios de signo, todas las raíces están en el semiplano izquierdo abierto.

Qué comprueba el criterio de Routh-Hurwitz

En la mayoría de los problemas de control, estabilidad significa que toda raíz característica satisface $\operatorname{Re}(s) < 0$. Esta condición es importante: el criterio habitual de Routh-Hurwitz es para sistemas en tiempo continuo en el plano $s$, no para sistemas en tiempo discreto en el plano $z$.

Su valor práctico está en la rapidez. Puedes decidir la estabilidad solo a partir de los coeficientes, lo que a menudo es más sencillo que encontrar las raíces exactas.

Cómo construir la tabla de Routh

Empieza escribiendo los coeficientes en potencias descendentes de $s$. Las dos primeras filas alternan los coeficientes:

$$\begin{array}{c|ccc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \end{array}$$

Después, calcula las filas inferiores a partir de las dos filas que están encima. Para un polinomio cúbico,

$$p(s) = s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3,$$

la tabla es:

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & a_2 \\ s^2 & a_1 & a_3 \\ s^1 & \dfrac{a_1 a_2 - a_3}{a_1} & 0 \\ s^0 & a_3 & 0 \end{array}$$

Así, para un cúbico con coeficiente principal positivo, la estabilidad asintótica requiere

$$a_1 > 0,\quad a_2 > 0,\quad a_3 > 0,\quad a_1 a_2 > a_3.$$

Esa última desigualdad es la parte que mucha gente suele pasar por alto. No basta con que los coeficientes sean positivos.

Ejemplo resuelto: coeficientes positivos pero inestable

Considera

$$p(s) = s^3 + s^2 + 2s + 8.$$

Todos los coeficientes son positivos, así que a primera vista puede parecer estable. La tabla de Routh muestra por qué esa conclusión es incorrecta.

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & \dfrac{(1)(2) - (1)(8)}{1} & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

Al simplificar la fila $s^1$ se obtiene

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & -6 & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

Ahora mira solo la primera columna:

$$1,\quad 1,\quad -6,\quad 8.$$

Hay dos cambios de signo, de $1$ a $-6$ y de $-6$ a $8$. Por tanto, el polinomio tiene $2$ raíces en el semiplano derecho, lo que significa que el sistema es inestable.

Esta es la idea principal que conviene recordar: para grado $3$ y superiores, los coeficientes positivos no garantizan estabilidad.

Errores comunes con el criterio de Routh-Hurwitz

Comprobar solo los coeficientes

Si todos los coeficientes son positivos, eso no significa automáticamente que el sistema sea estable. El ejemplo resuelto anterior es precisamente el contraejemplo.

Olvidar el dominio de la prueba

El criterio habitual de Routh-Hurwitz se aplica a polinomios característicos en tiempo continuo en $s$. Si estás estudiando un sistema en tiempo discreto, necesitas una prueba diferente.

Ignorar los casos especiales

Un cero en la primera columna o una fila completa de ceros es un caso especial, no un punto normal para detenerse. Estos casos requieren un procedimiento adicional, a menudo con una pequeña perturbación o un polinomio auxiliar.

No normalizar el polinomio

Lo más seguro es escribir el polinomio en potencias descendentes de $s$ y hacer positivo el coeficiente principal antes de construir la tabla. De lo contrario, la prueba de signos puede interpretarse mal con facilidad.

Cuándo se usa el criterio de Routh-Hurwitz

Usa el criterio de Routh-Hurwitz cuando un modelo conduce a un polinomio característico y necesitas una respuesta rápida sobre la estabilidad.

En sistemas de control, permite comprobar si un sistema en lazo cerrado es estable sin calcular explícitamente los polos. En modelos de circuitos y mecánicos, ayuda a verificar si ciertas elecciones de parámetros producen respuestas decrecientes o crecientes. En tareas de diseño, es útil para encontrar rangos de parámetros que mantengan estable un sistema.

Es especialmente útil cuando resolver las raíces exactas sería lento o innecesario.

Prueba una comprobación de estabilidad similar

Aplica el mismo proceso a

$$p(s) = s^3 + 4s^2 + 5s + 2.$$

Construye la primera columna y comprueba si aparece algún cambio de signo. Después, compara tu respuesta con la condición cúbica $a_1 a_2 > a_3$ para ver que ambos métodos coinciden.