라플라스 변환 표 — 기본 쌍과 성질

라플라스 변환 표는 $1 \mapsto 1/s$, $e^{at} \mapsto 1/(s-a)$, $\sin(at) \mapsto a/(s^2+a^2)$처럼 가장 자주 쓰는 표준 쌍을 한눈에 보여줍니다. 매번 정의 적분을 다시 계산하지 않고도 흔한 라플라스 변환 문제를 빠르게 처리할 수 있는 가장 효율적인 도구입니다.

대부분의 미적분, 미분방정식, 공학 과목에서는 $t \ge 0$에 대한 단측 라플라스 변환을 기본으로 사용합니다:

$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$$

여기서 $s$는 보통 복소변수이며, 이 식은 적분이 수렴하는 곳에서만 의미가 있습니다.

풀이 흐름은 간단합니다. 함수를 표의 한 행과 대응시킨 다음, 합, 이동, 미분에 대한 몇 가지 성질을 적용하면 됩니다.

라플라스 변환 표: 자주 쓰는 기본 쌍

아래 항목들은 단측 변환을 가정합니다. 수렴 조건은 선택 사항이 아니라 답의 일부입니다.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}(s)$	조건
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t^n$	\frac\{n!\}\{s^\{n+1\}}	$n$은 0 이상의 정수, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	$a$가 실수일 때, $\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 + a^2\}$	$a$가 실수일 때, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 + a^2\}$	$a$가 실수일 때, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\sinh(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 - a^2\}$	$a$가 실수일 때, $\operatorname{Re}(s) >
$\cosh(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 - a^2\}$	$a$가 실수일 때, $\operatorname{Re}(s) >

몇 개의 행만 기억해야 한다면 $1$, $e^{at}$, $\sin(at)$, $\cos(at)$를 먼저 기억하세요. 많은 교재 문제는 이 항목들에 성질 하나만 더하면 풀립니다.

실제로 자주 쓰는 라플라스 변환의 성질

표가 강력한 이유는 몇 가지 규칙과 함께 쓰이기 때문입니다. 학생들이 반복해서 사용하는 것은 주로 아래 성질들입니다.

선형성

변환이 존재하면

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

이 성질 덕분에 합으로 주어진 함수를 더 작은 부분으로 나누어 계산할 수 있습니다.

시간영역에서의 지수 이동

$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$이면

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

이 성질은 많은 표 항목 활용의 핵심입니다. $t$에 대한 지수함수를 곱하면 $s$에서 식이 이동합니다.

미분 공식

단측 변환의 일반적인 가정 아래에서

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

이 때문에 라플라스 변환은 초기값 문제에 특히 유용합니다. 미분이 대수식과 초기값으로 바뀌기 때문입니다.

$t$를 곱하는 경우

필요한 영역에서 $F(s)$가 미분 가능하다면

$$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$$

시간영역 함수에 $t$가 곱해져 있을 때, 더 단순한 함수의 변환으로 연결하는 데 도움이 됩니다.

라플라스 변환 표가 통하는 이유

커널 $e^{-st}$는 시간영역의 성장, 감쇠, 진동을 $s$에 대한 대수식으로 바꿔 줍니다. 이는 미분이나 적분보다 대수 조작이 더 쉬운 경우가 많기 때문에 중요합니다.

그래서 이 표는 단순히 외워야 하는 목록이 아닙니다. 패턴을 찾아내는 도구입니다. 패턴만 보이면 계산이 한 줄로 끝나는 경우도 많습니다.

예제: $\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\}$

다음 함수의 라플라스 변환을 구해 봅시다.

$$f(t) = e^{-2t}\cos(3t)$$

먼저 기본 표 항목을 씁니다.

$$\mathcal{L}\{\cos(3t)\} = \frac{s}{s^2 + 9}$$

이제 지수 이동 성질을 적용합니다. $e^{-2t}$는 $a=-2$를 뜻하므로 $s$를 $s+2$로 바꿉니다:

$$\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\} = \frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

이 변환의 수렴 조건은 $\operatorname{Re}(s) > -2$가 됩니다.

계산은 이것으로 끝입니다. 기본 쌍과 이동 공식을 알고 있다면 다시 적분으로 돌아갈 필요가 없습니다.

라플라스 변환 표에서 자주 하는 실수

1. 이동 공식의 부호를 헷갈리는 것. $e^{at}f(t)$에 대한 결과는 $F(s-a)$이므로, $e^{-2t}f(t)$는 $F(s+2)$가 됩니다.
2. 수렴 조건을 무시하는 것. 예를 들어 $a$가 실수일 때 $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$에는 $\operatorname{Re}(s) > a$가 필요합니다.
3. 미분 공식에서 초기값을 빼먹는 것. $\mathcal{L}\{f'(t)\}$는 단순히 $sF(s)$가 아닙니다.
4. 거의 비슷하지만 정확히 일치하지 않는 표 항목을 쓰는 것. 부호나 이동이 조금만 달라도 답이 완전히 달라질 수 있습니다.
5. 단측 라플라스 변환과 양측 라플라스 변환을 혼동하는 것. 입문 단계의 대부분의 표는 $t=0$에서 시작하는 단측 버전을 사용합니다.

라플라스 변환 표가 유용한 경우

라플라스 표는 문제가 $t \ge 0$에서 주어지고 초기조건이 중요할 때 특히 유용합니다.

• 미분방정식에서는 미분을 대수항으로 바꾸어 초기값 문제를 더 쉽게 풀 수 있게 합니다.
• 회로와 제어에서는 입력, 출력, 전달함수를 해석하는 데 도움이 됩니다.
• 신호와 시스템에서는 감쇠, 진동, 시스템 응답을 간결한 형태로 표현합니다.

여기서도 수렴 조건은 여전히 중요합니다. 필요한 영역에서 변환이 수렴하지 않으면 표의 항목만으로는 충분하지 않습니다.

역라플라스 변환: 표를 거꾸로 읽기

같은 표는 역라플라스 변환에도 사용됩니다. 예를 들어

$$\frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

를 보면, 이동된 코사인 패턴으로 인식하고 이를 거꾸로 읽어

$$e^{-2t}\cos(3t)$$

라고 판단할 수 있습니다.

풀이 예제에서 이것이 가장 빠른 방법인 경우가 많습니다. 먼저 패턴을 찾고, 그다음 표와 이동 공식으로 정당화하면 됩니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음 함수의 변환을 구해 보세요.

$$e^{4t}\sin(2t)$$

표의 사인 항목에서 시작한 뒤, 이동을 부호에 주의해서 적용해 보세요. 한 단계 더 연습하고 싶다면 $e^{-t}\sin(5t)$도 직접 해 보고, 부호에 따라 이동이 어떻게 달라지는지 비교해 보세요.