Transformada de Laplace — Tabela e Propriedades

Uma tabela da transformada de Laplace reúne os pares padrão que você usa com mais frequência, como $1 \mapsto 1/s$, $e^{at} \mapsto 1/(s-a)$ e $\sin(at) \mapsto a/(s^2+a^2)$. Ela é a forma mais rápida de resolver problemas comuns de transformada de Laplace sem recalcular a integral de definição toda vez.

Na maioria dos cursos de cálculo, equações diferenciais e engenharia, o padrão é a transformada de Laplace unilateral para $t \ge 0$:

$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$$

Aqui, $s$ normalmente é uma variável complexa, e a fórmula só faz sentido onde a integral converge.

O procedimento é simples: associe a função a uma linha da tabela e depois use um pequeno conjunto de propriedades para somas, deslocamentos ou derivadas.

Tabela da Transformada de Laplace: Pares Comuns

As entradas abaixo assumem a transformada unilateral. A condição de convergência faz parte da resposta, não é um detalhe opcional.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}(s)$	Condição
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t^n$	\frac\{n!\}\{s^\{n+1\}}	$n$ é um inteiro não negativo, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	para $a$ real, $\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 + a^2\}$	para $a$ real, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 + a^2\}$	para $a$ real, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\sinh(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 - a^2\}$	para $a$ real, $\operatorname{Re}(s) >
$\cosh(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 - a^2\}$	para $a$ real, $\operatorname{Re}(s) >

Se você só lembrar de algumas linhas, lembre de $1$, $e^{at}$, $\sin(at)$ e $\cos(at)$. Muitos exercícios de livros se reduzem a essas linhas mais uma propriedade.

Propriedades da Transformada de Laplace que Você Realmente Usa

A tabela ganha quase toda a sua força com algumas regras. São essas que os estudantes usam repetidamente.

Linearidade

Se as transformadas existem, então

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

É isso que permite separar uma soma em partes menores.

Deslocamento Exponencial no Tempo

Se $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$, então

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

Essa é a propriedade por trás de muitas consultas à tabela. Multiplicar por uma exponencial em $t$ desloca a expressão em $s$.

Regra da Derivada

Sob as hipóteses usuais para a transformada unilateral,

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

É por isso que as transformadas de Laplace são tão úteis em problemas de valor inicial: a derivada vira álgebra mais o valor inicial.

Multiplicação por $t$

Se $F(s)$ é diferenciável na região de que você precisa, então

$$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$$

Isso ajuda quando a função no domínio do tempo tem um fator $t$ multiplicando algo mais simples.

Por Que Uma Tabela da Transformada de Laplace Funciona

O núcleo $e^{-st}$ transforma crescimento, decaimento e oscilação no domínio do tempo em expressões algébricas em $s$. Isso importa porque, em geral, é mais fácil manipular álgebra do que derivadas ou integrais.

Então a tabela não é apenas algo para decorar. Ela é uma ferramenta de reconhecimento de padrões: quando o padrão fica claro, o cálculo muitas vezes se reduz a uma linha.

Exemplo Resolvido: $\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\}$

Encontre a transformada de Laplace de

$$f(t) = e^{-2t}\cos(3t)$$

Comece com a entrada básica da tabela

$$\mathcal{L}\{\cos(3t)\} = \frac{s}{s^2 + 9}$$

Agora use a propriedade de deslocamento exponencial. Como $e^{-2t}$ significa $a=-2$, substitua $s$ por $s+2$:

$$\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\} = \frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

Para essa transformada, a condição passa a ser $\operatorname{Re}(s) > -2$.

Esse é o cálculo inteiro. Depois que você conhece o par básico e a regra de deslocamento, não há necessidade de voltar à integral.

Erros Comuns com uma Tabela da Transformada de Laplace

1. Confundir o sinal na regra de deslocamento. Para $e^{at}f(t)$, o resultado é $F(s-a)$, então para $e^{-2t}f(t)$ você obtém $F(s+2)$.
2. Ignorar as condições de convergência. Por exemplo, para $a$ real, $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$ exige $\operatorname{Re}(s) > a$.
3. Esquecer o valor inicial na fórmula da derivada. $\mathcal{L}\{f'(t)\}$ não é apenas $sF(s)$.
4. Usar uma entrada da tabela que quase coincide, mas não exatamente. Uma pequena mudança de sinal ou de deslocamento pode alterar completamente a resposta.
5. Misturar transformadas de Laplace unilaterais e bilaterais. A maioria das tabelas introdutórias usa a versão unilateral começando em $t=0$.

Quando uma Tabela da Transformada de Laplace é Útil

As tabelas de Laplace são mais úteis quando o problema é formulado para $t \ge 0$ e as condições iniciais importam.

• Em equações diferenciais, elas transformam derivadas em termos algébricos e facilitam a resolução de problemas de valor inicial.
• Em circuitos e controle, ajudam a analisar entradas, saídas e funções de transferência.
• Em sinais e sistemas, descrevem decaimento, oscilação e resposta do sistema de forma compacta.

A condição de convergência continua sendo importante aqui. Se a transformada não converge na região de que você precisa, a entrada da tabela sozinha não basta.

Transformada Inversa de Laplace: Leia a Tabela ao Contrário

A mesma tabela é usada para transformadas inversas de Laplace. Se você vê

$$\frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

pode reconhecer isso como o padrão de cosseno deslocado e ler ao contrário como

$$e^{-2t}\cos(3t)$$

Esse costuma ser o caminho mais rápido em exemplos resolvidos: primeiro identifique o padrão, depois justifique com a tabela e a regra de deslocamento.

Tente um Problema Parecido

Tente encontrar a transformada de

$$e^{4t}\sin(2t)$$

Comece pela linha do seno na tabela e depois aplique o deslocamento com cuidado. Se quiser dar mais um passo, tente sua própria versão com $e^{-t}\sin(5t)$ e compare como o sinal muda o deslocamento.