Transformée de Laplace — Table et propriétés

Une table de transformée de Laplace donne les paires standard que l’on utilise le plus souvent, comme $1 \mapsto 1/s$, $e^{at} \mapsto 1/(s-a)$ et $\sin(at) \mapsto a/(s^2+a^2)$. C’est le moyen le plus rapide de traiter les problèmes courants de transformée de Laplace sans recalculer à chaque fois l’intégrale de définition.

Dans la plupart des cours de calcul, d’équations différentielles et d’ingénierie, on utilise par défaut la transformée de Laplace unilatérale pour $t \ge 0$ :

$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$$

Ici, $s$ est généralement une variable complexe, et la formule n’a de sens que là où l’intégrale converge.

La méthode est simple : on fait correspondre la fonction à une ligne de la table, puis on utilise un petit ensemble de propriétés pour les sommes, les décalages ou les dérivées.

Table de transformée de Laplace : paires usuelles

Les entrées ci-dessous supposent la transformée unilatérale. La condition de convergence fait partie de la réponse, ce n’est pas un détail facultatif.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}(s)$	Condition
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t^n$	\frac\{n!\}\{s^\{n+1\}}	$n$ est un entier non négatif, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	pour $a$ réel, $\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 + a^2\}$	pour $a$ réel, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 + a^2\}$	pour $a$ réel, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\sinh(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 - a^2\}$	pour $a$ réel, $\operatorname{Re}(s) >
$\cosh(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 - a^2\}$	pour $a$ réel, $\operatorname{Re}(s) >

Si vous ne retenez que quelques lignes, retenez $1$, $e^{at}$, $\sin(at)$ et $\cos(at)$. Beaucoup d’exercices de manuel se ramènent à ces lignes plus une propriété.

Propriétés de la transformée de Laplace vraiment utiles

La table tire l’essentiel de sa puissance de quelques règles. Ce sont celles que les étudiants utilisent encore et encore.

Linéarité

Si les transformées existent, alors

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

C’est ce qui permet de décomposer une somme en parties plus petites.

Décalage exponentiel dans le temps

Si $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$, alors

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

C’est la propriété derrière de nombreuses lectures directes dans la table. Multiplier par une exponentielle en $t$ décale l’expression en $s$.

Règle de la dérivée

Sous les hypothèses habituelles pour la transformée unilatérale,

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

C’est pour cela que les transformées de Laplace sont si utiles pour les problèmes à conditions initiales : la dérivée devient de l’algèbre plus la valeur initiale.

Multiplication par $t$

Si $F(s)$ est dérivable dans la région dont vous avez besoin, alors

$$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$$

Cela aide quand la fonction dans le domaine temporel contient un facteur $t$ multipliant quelque chose de plus simple.

Pourquoi une table de transformée de Laplace fonctionne

Le noyau $e^{-st}$ transforme la croissance, la décroissance et l’oscillation dans le domaine temporel en expressions algébriques en $s$. C’est important, car l’algèbre est souvent plus facile à manipuler que des dérivées ou des intégrales.

La table n’est donc pas seulement quelque chose à mémoriser. C’est un outil de reconnaissance de formes : une fois le motif identifié, le calcul se réduit souvent à une seule ligne.

Exemple corrigé : $\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\}$

Trouver la transformée de Laplace de

$$f(t) = e^{-2t}\cos(3t)$$

On part de l’entrée de base de la table

$$\mathcal{L}\{\cos(3t)\} = \frac{s}{s^2 + 9}$$

On utilise maintenant la propriété de décalage exponentiel. Comme $e^{-2t}$ signifie $a=-2$, on remplace $s$ par $s+2$ :

$$\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\} = \frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

Pour cette transformée, la condition devient $\operatorname{Re}(s) > -2$.

C’est tout le calcul. Une fois la paire de base et la règle de décalage connues, il n’est pas nécessaire de revenir à l’intégrale.

Erreurs fréquentes avec une table de transformée de Laplace

1. Confondre le signe dans la règle de décalage. Pour $e^{at}f(t)$, le résultat est $F(s-a)$, donc pour $e^{-2t}f(t)$ on obtient $F(s+2)$.
2. Ignorer les conditions de convergence. Par exemple, pour $a$ réel, $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$ exige $\operatorname{Re}(s) > a$.
3. Oublier la valeur initiale dans la formule de la dérivée. $\mathcal{L}\{f'(t)\}$ n’est pas simplement $sF(s)$.
4. Utiliser une entrée de table qui ressemble presque à la bonne, mais pas exactement. Un petit changement de signe ou de décalage peut modifier complètement la réponse.
5. Mélanger les transformées de Laplace unilatérale et bilatérale. La plupart des tables d’introduction utilisent la version unilatérale à partir de $t=0$.

Quand une table de transformée de Laplace est utile

Les tables de Laplace sont surtout utiles lorsque le problème est posé pour $t \ge 0$ et que les conditions initiales comptent.

• En équations différentielles, elles transforment les dérivées en termes algébriques et facilitent la résolution des problèmes à conditions initiales.
• En circuits et en automatique, elles aident à analyser les entrées, les sorties et les fonctions de transfert.
• En signaux et systèmes, elles décrivent la décroissance, l’oscillation et la réponse d’un système sous une forme compacte.

La condition de convergence reste importante ici. Si la transformée ne converge pas dans la région dont vous avez besoin, l’entrée de table seule ne suffit pas.

Transformée de Laplace inverse : lire la table à l’envers

La même table s’utilise pour les transformées de Laplace inverses. Si vous voyez

$$\frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

vous pouvez reconnaître le motif du cosinus décalé et le lire à l’envers comme

$$e^{-2t}\cos(3t)$$

C’est souvent la voie la plus rapide dans les exemples corrigés : identifier d’abord le motif, puis le justifier avec la table et la règle de décalage.

Essayez un problème similaire

Essayez de trouver la transformée de

$$e^{4t}\sin(2t)$$

Partez de la ligne du sinus dans la table, puis appliquez le décalage avec soin. Si vous voulez aller un peu plus loin, essayez votre propre version avec $e^{-t}\sin(5t)$ et comparez comment le signe modifie le décalage.