ลาปลาซทรานส์ฟอร์ม — ตารางและสมบัติ

ตารางลาปลาซทรานส์ฟอร์มรวบรวมคู่มาตรฐานที่ใช้บ่อย เช่น $1 \mapsto 1/s$, $e^{at} \mapsto 1/(s-a)$ และ $\sin(at) \mapsto a/(s^2+a^2)$. นี่เป็นวิธีที่เร็วที่สุดในการจัดการโจทย์ลาปลาซทรานส์ฟอร์มทั่วไป โดยไม่ต้องคำนวณอินทิกรัลตามนิยามใหม่ทุกครั้ง

ในวิชาแคลคูลัส สมการเชิงอนุพันธ์ และวิศวกรรมส่วนใหญ่ ค่ามาตรฐานที่ใช้คือ one-sided Laplace transform สำหรับ $t \ge 0$:

$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$$

ที่นี่ $s$ มักเป็นตัวแปรเชิงซ้อน และสูตรนี้จะมีความหมายก็ต่อเมื่ออินทิกรัลลู่เข้าเท่านั้น

ขั้นตอนการใช้งานตรงไปตรงมา: จับคู่ฟังก์ชันกับแถวในตาราง จากนั้นใช้สมบัติเพิ่มเติมไม่กี่ข้อสำหรับผลบวก การเลื่อน หรืออนุพันธ์

ตารางลาปลาซทรานส์ฟอร์ม: คู่ฟังก์ชันที่พบบ่อย

รายการด้านล่างสมมติว่าใช้ one-sided transform เงื่อนไขการลู่เข้าเป็นส่วนหนึ่งของคำตอบ ไม่ใช่สิ่งที่ใส่หรือไม่ใส่ก็ได้

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}(s)$	เงื่อนไข
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t^n$	\frac\{n!\}\{s^\{n+1\}}	$n$ เป็นจำนวนเต็มไม่ลบ, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	สำหรับ $a$ จริง, $\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 + a^2\}$	สำหรับ $a$ จริง, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 + a^2\}$	สำหรับ $a$ จริง, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\sinh(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 - a^2\}$	สำหรับ $a$ จริง, $\operatorname{Re}(s) >
$\cosh(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 - a^2\}$	สำหรับ $a$ จริง, $\operatorname{Re}(s) >

ถ้าจะจำเพียงไม่กี่แถว ให้จำ $1$, $e^{at}$, $\sin(at)$ และ $\cos(at)$. โจทย์ในตำราจำนวนมากย่อได้เหลือเพียงแถวเหล่านี้บวกกับสมบัติอีกหนึ่งข้อ

สมบัติของลาปลาซทรานส์ฟอร์มที่ใช้จริง

พลังของตารางส่วนใหญ่มาจากกฎไม่กี่ข้อ และนี่คือข้อที่นักเรียนใช้ซ้ำบ่อยที่สุด

สมบัติเชิงเส้น

ถ้าทรานส์ฟอร์มมีอยู่ จะได้ว่า

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

สมบัตินี้ทำให้คุณแยกผลบวกออกเป็นส่วนย่อยที่จัดการง่ายกว่าได้

การเลื่อนแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลในโดเมนเวลา

ถ้า $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ แล้ว

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

นี่คือสมบัติที่อยู่เบื้องหลังการเปิดตารางหลายกรณี การคูณด้วยเอ็กซ์โพเนนเชียลในตัวแปร $t$ จะทำให้พจน์ใน $s$ ถูกเลื่อน

กฎของอนุพันธ์

ภายใต้สมมติฐานมาตรฐานของ one-sided transform,

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

นี่คือเหตุผลที่ลาปลาซทรานส์ฟอร์มมีประโยชน์มากกับปัญหาค่าเริ่มต้น เพราะอนุพันธ์จะกลายเป็นพีชคณิตบวกกับค่าเริ่มต้น

การคูณด้วย $t$

ถ้า $F(s)$ หาอนุพันธ์ได้ในบริเวณที่ต้องการ จะได้ว่า

$$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$$

สมบัตินี้ช่วยได้เมื่อฟังก์ชันในโดเมนเวลามีตัวประกอบ $t$ คูณกับฟังก์ชันที่ง่ายกว่า

ทำไมตารางลาปลาซทรานส์ฟอร์มจึงใช้ได้

เคอร์เนล $e^{-st}$ เปลี่ยนการเติบโต การลดลง และการแกว่งในโดเมนเวลาให้เป็นนิพจน์เชิงพีชคณิตใน $s$. นี่สำคัญเพราะพีชคณิตมักจัดการได้ง่ายกว่าอนุพันธ์หรืออินทิกรัล

ดังนั้นตารางจึงไม่ใช่แค่สิ่งที่ต้องท่องจำ แต่เป็นเครื่องมือจับรูปแบบ: เมื่อเห็นรูปแบบชัดแล้ว การคำนวณมักยุบเหลือเพียงบรรทัดเดียว

ตัวอย่างทำโจทย์: $\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\}$

จงหาลาปลาซทรานส์ฟอร์มของ

$$f(t) = e^{-2t}\cos(3t)$$

เริ่มจากรายการพื้นฐานในตาราง

$$\mathcal{L}\{\cos(3t)\} = \frac{s}{s^2 + 9}$$

จากนั้นใช้สมบัติการเลื่อนแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล เนื่องจาก $e^{-2t}$ หมายถึง $a=-2$ ให้แทน $s$ ด้วย $s+2$:

$$\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\} = \frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

สำหรับทรานส์ฟอร์มนี้ เงื่อนไขคือ $\operatorname{Re}(s) > -2$

นี่คือการคำนวณทั้งหมด เมื่อรู้คู่พื้นฐานและกฎการเลื่อนแล้ว ก็ไม่จำเป็นต้องย้อนกลับไปใช้อินทิกรัลตามนิยาม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเมื่อใช้ตารางลาปลาซทรานส์ฟอร์ม

1. สลับเครื่องหมายในกฎการเลื่อน สำหรับ $e^{at}f(t)$ คำตอบคือ $F(s-a)$ ดังนั้นสำหรับ $e^{-2t}f(t)$ จะได้ $F(s+2)$
2. มองข้ามเงื่อนไขการลู่เข้า ตัวอย่างเช่น สำหรับ $a$ จริง, $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$ ต้องมี $\operatorname{Re}(s) > a$
3. ลืมค่าเริ่มต้นในสูตรอนุพันธ์ $\mathcal{L}\{f'(t)\}$ ไม่ใช่แค่ $sF(s)$
4. ใช้รายการในตารางที่คล้ายแต่ไม่ตรงเป๊ะ การเปลี่ยนเครื่องหมายหรือการเลื่อนเพียงเล็กน้อยอาจทำให้คำตอบเปลี่ยนไปทั้งหมด
5. สับสนระหว่าง one-sided และ two-sided Laplace transform ตารางเบื้องต้นส่วนใหญ่มักใช้แบบ one-sided ที่เริ่มจาก $t=0$

ตารางลาปลาซทรานส์ฟอร์มมีประโยชน์เมื่อใด

ตารางลาปลาซมีประโยชน์มากที่สุดเมื่อโจทย์กำหนดสำหรับ $t \ge 0$ และค่าเริ่มต้นมีความสำคัญ

• ในสมการเชิงอนุพันธ์ มันเปลี่ยนอนุพันธ์ให้เป็นพจน์เชิงพีชคณิต และทำให้ปัญหาค่าเริ่มต้นแก้ได้ง่ายขึ้น
• ในวงจรและระบบควบคุม มันช่วยวิเคราะห์อินพุต เอาต์พุต และฟังก์ชันถ่ายโอน
• ในสัญญาณและระบบ มันใช้อธิบายการลดลง การแกว่ง และการตอบสนองของระบบในรูปแบบที่กระชับ

เงื่อนไขการลู่เข้ายังคงสำคัญอยู่ ถ้าทรานส์ฟอร์มไม่ลู่เข้าในบริเวณที่ต้องการ การมีแค่รายการในตารางก็ยังไม่เพียงพอ

อินเวอร์สลาปลาซทรานส์ฟอร์ม: อ่านตารางย้อนกลับ

ตารางเดียวกันนี้ใช้กับอินเวอร์สลาปลาซทรานส์ฟอร์มได้ด้วย ถ้าคุณเห็น

$$\frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

คุณสามารถมองออกว่าเป็นรูปแบบโคไซน์ที่ถูกเลื่อน และอ่านย้อนกลับได้เป็น

$$e^{-2t}\cos(3t)$$

นี่มักเป็นวิธีที่เร็วที่สุดในตัวอย่างที่มีเฉลย: ระบุรูปแบบก่อน แล้วค่อยอธิบายด้วยตารางและกฎการเลื่อน

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองหาทรานส์ฟอร์มของ

$$e^{4t}\sin(2t)$$

เริ่มจากแถวของไซน์ในตาราง แล้วค่อยใช้การเลื่อนอย่างระมัดระวัง ถ้าอยากลองต่ออีกขั้น ให้สร้างโจทย์ของตัวเองด้วย $e^{-t}\sin(5t)$ แล้วเปรียบเทียบว่าเครื่องหมายที่เปลี่ยนไปส่งผลต่อการเลื่อนอย่างไร