Transformata Laplace’a — tabela i własności

Tabela transformaty Laplace’a zawiera standardowe pary, których używa się najczęściej, takie jak $1 \mapsto 1/s$, $e^{at} \mapsto 1/(s-a)$ oraz $\sin(at) \mapsto a/(s^2+a^2)$. To najszybszy sposób rozwiązywania typowych zadań z transformaty Laplace’a bez ponownego liczenia całki definiującej za każdym razem.

Na większości kursów analizy, równań różniczkowych i przedmiotów inżynierskich domyślnie stosuje się jednostronną transformatę Laplace’a dla $t \ge 0$:

$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$$

Tutaj $s$ jest zwykle zmienną zespoloną, a wzór ma sens tylko tam, gdzie całka jest zbieżna.

Schemat postępowania jest prosty: dopasuj funkcję do wiersza w tabeli, a potem użyj niewielkiego zestawu własności dla sum, przesunięć lub pochodnych.

Tabela transformaty Laplace’a: typowe pary

Poniższe wpisy zakładają transformatę jednostronną. Warunek zbieżności jest częścią odpowiedzi, a nie opcjonalnym dodatkiem.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}(s)$	Warunek
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t^n$	\frac\{n!\}\{s^\{n+1\}}	$n$ jest nieujemną liczbą całkowitą, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	dla rzeczywistego $a$, $\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 + a^2\}$	dla rzeczywistego $a$, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 + a^2\}$	dla rzeczywistego $a$, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\sinh(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 - a^2\}$	dla rzeczywistego $a$, $\operatorname{Re}(s) >
$\cosh(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 - a^2\}$	dla rzeczywistego $a$, $\operatorname{Re}(s) >

Jeśli pamiętasz tylko kilka wierszy, zapamiętaj $1$, $e^{at}$, $\sin(at)$ i $\cos(at)$. Wiele zadań z podręczników sprowadza się do tych wierszy i jednej własności.

Własności transformaty Laplace’a, których naprawdę używasz

Tabela zawdzięcza większość swojej mocy kilku regułom. To właśnie z nich studenci korzystają ciągle.

Liniowość

Jeśli transformaty istnieją, to

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

To pozwala rozbić sumę na mniejsze części.

Przesunięcie wykładnicze w czasie

Jeśli $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$, to

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

To własność stojąca za wieloma odczytami z tabeli. Mnożenie przez funkcję wykładniczą względem $t$ przesuwa wyrażenie w $s$.

Wzór na pochodną

Przy zwykłych założeniach dla transformaty jednostronnej,

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

Właśnie dlatego transformata Laplace’a jest tak użyteczna w zagadnieniach początkowych: pochodna zamienia się w algebrę plus wartość początkową.

Mnożenie przez $t$

Jeśli $F(s)$ jest różniczkowalna w potrzebnym obszarze, to

$$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$$

To pomaga wtedy, gdy funkcja w dziedzinie czasu ma czynnik $t$ mnożący coś prostszego.

Dlaczego tabela transformaty Laplace’a działa

Jądro $e^{-st}$ zamienia wzrost, zanik i oscylację w dziedzinie czasu na wyrażenia algebraiczne w $s$. To ważne, bo algebrą często operuje się łatwiej niż pochodnymi lub całkami.

Dlatego tabela nie jest tylko czymś do zapamiętania. To narzędzie do rozpoznawania wzorców: gdy wzorzec jest jasny, obliczenie często sprowadza się do jednej linijki.

Przykład: $\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\}$

Wyznacz transformatę Laplace’a funkcji

$$f(t) = e^{-2t}\cos(3t)$$

Zacznij od podstawowego wpisu z tabeli

$$\mathcal{L}\{\cos(3t)\} = \frac{s}{s^2 + 9}$$

Teraz użyj własności przesunięcia wykładniczego. Ponieważ $e^{-2t}$ oznacza $a=-2$, zastąp $s$ przez $s+2$:

$$\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\} = \frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

Dla tej transformaty warunek przyjmuje postać $\operatorname{Re}(s) > -2$.

To całe obliczenie. Gdy znasz parę bazową i regułę przesunięcia, nie ma potrzeby wracać do całki.

Typowe błędy przy korzystaniu z tabeli transformaty Laplace’a

1. Mylenie znaku w regule przesunięcia. Dla $e^{at}f(t)$ wynikiem jest $F(s-a)$, więc dla $e^{-2t}f(t)$ dostajesz $F(s+2)$.
2. Ignorowanie warunków zbieżności. Na przykład dla rzeczywistego $a$, $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$ wymaga $\operatorname{Re}(s) > a$.
3. Pomijanie wartości początkowej we wzorze na pochodną. $\mathcal{L}\{f'(t)\}$ to nie tylko $sF(s)$.
4. Używanie wpisu z tabeli, który prawie pasuje, ale nie dokładnie. Mała zmiana znaku lub przesunięcia może całkowicie zmienić odpowiedź.
5. Mieszanie jednostronnej i dwustronnej transformaty Laplace’a. Większość tabel wprowadzających używa wersji jednostronnej zaczynającej się od $t=0$.

Kiedy tabela transformaty Laplace’a jest przydatna

Tabele Laplace’a są najbardziej przydatne wtedy, gdy zadanie jest postawione dla $t \ge 0$ i znaczenie mają warunki początkowe.

• W równaniach różniczkowych zamieniają pochodne na wyrażenia algebraiczne i ułatwiają rozwiązywanie zagadnień początkowych.
• W obwodach i teorii sterowania pomagają analizować wejścia, wyjścia i transmitancje.
• W teorii sygnałów i systemów opisują zanik, oscylację i odpowiedź układu w zwartej postaci.

Warunek zbieżności nadal ma tu znaczenie. Jeśli transformata nie jest zbieżna w potrzebnym obszarze, sam wpis z tabeli nie wystarcza.

Odwrotna transformata Laplace’a: czytaj tabelę od końca

Ta sama tabela jest używana do odwrotnych transformat Laplace’a. Jeśli widzisz

$$\frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

możesz rozpoznać to jako wzorzec przesuniętego cosinusa i odczytać od końca jako

$$e^{-2t}\cos(3t)$$

To często najszybsza droga w rozwiązanych przykładach: najpierw rozpoznaj wzorzec, a potem uzasadnij go tabelą i regułą przesunięcia.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj wyznaczyć transformatę funkcji

$$e^{4t}\sin(2t)$$

Zacznij od wiersza z sinusem w tabeli, a potem ostrożnie zastosuj przesunięcie. Jeśli chcesz zrobić jeszcze jeden krok, spróbuj własnej wersji z $e^{-t}\sin(5t)$ i porównaj, jak znak zmienia przesunięcie.