ラプラス変換の表 — 公式一覧と性質

ラプラス変換の表には、$1 \mapsto 1/s$、$e^{at} \mapsto 1/(s-a)$、$\sin(at) \mapsto a/(s^2+a^2)$ のような、よく使う標準的な対応が載っています。定義積分を毎回計算し直さずに、典型的なラプラス変換の問題を素早く処理するための最短ルートです。

多くの微積分、微分方程式、工学の授業では、$t \ge 0$ に対する片側ラプラス変換を標準として使います。

$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$$

ここで $s$ は通常複素変数で、この式は積分が収束する範囲でのみ意味をもちます。

使い方はシンプルです。まず関数を表の行に対応させ、次に和、シフト、微分に関する少数の性質を使います。

ラプラス変換の表：よく使う対応

以下の項目は片側変換を前提にしています。収束条件はおまけではなく、答えの一部です。

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}(s)$	条件
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t^n$	\frac\{n!\}\{s^\{n+1\}}	$n$ は 0 以上の整数、$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	実数 $a$ に対して、$\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 + a^2\}$	実数 $a$ に対して、$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 + a^2\}$	実数 $a$ に対して、$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\sinh(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 - a^2\}$	実数 $a$ に対して、$\operatorname{Re}(s) >
$\cosh(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 - a^2\}$	実数 $a$ に対して、$\operatorname{Re}(s) >

数行しか覚えないなら、$1$、$e^{at}$、$\sin(at)$、$\cos(at)$ を覚えるのがおすすめです。多くの教科書の問題は、それらの行と 1 つの性質だけで処理できます。

実際によく使うラプラス変換の性質

表が強力なのは、いくつかの基本ルールと組み合わせられるからです。学生が何度も使うのは次の性質です。

線形性

変換が存在するとき、

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

が成り立ちます。

これにより、和を小さな部分に分けて扱えます。

時間領域での指数シフト

$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ なら、

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

が成り立ちます。

これは多くの表引きの土台になる性質です。$t$ に関する指数関数を掛けると、$s$ の式がシフトします。

微分の公式

片側変換の通常の仮定のもとで、

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

が成り立ちます。

このため、ラプラス変換は初期値問題にとても有用です。微分が、初期値を含む代数式に変わるからです。

$t$ を掛ける場合

必要な領域で $F(s)$ が微分可能なら、

$$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$$

が成り立ちます。

時間領域の関数に $t$ が掛かっているとき、より単純な関数に帰着するのに役立ちます。

なぜラプラス変換の表が使えるのか

核 $e^{-st}$ は、時間領域での増大、減衰、振動を、$s$ に関する代数式へ変換します。これは重要です。代数式のほうが、微分や積分より扱いやすいことが多いからです。

つまり、表は単なる暗記項目ではありません。パターン照合の道具です。形が見えれば、計算が 1 行で終わることもよくあります。

計算例：$\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\}$

次のラプラス変換を求めます。

$$f(t) = e^{-2t}\cos(3t)$$

まず基本の表の項目として、

$$\mathcal{L}\{\cos(3t)\} = \frac{s}{s^2 + 9}$$

を使います。

次に指数シフトの性質を使います。$e^{-2t}$ では $a=-2$ なので、$s$ を $s+2$ に置き換えます。

$$\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\} = \frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

この変換の条件は $\operatorname{Re}(s) > -2$ になります。

これで計算は終わりです。基本の対応とシフト則が分かっていれば、積分に戻る必要はありません。

ラプラス変換の表でよくあるミス

1. シフト則の符号を取り違えること。$e^{at}f(t)$ に対する結果は $F(s-a)$ なので、$e^{-2t}f(t)$ なら $F(s+2)$ になります。
2. 収束条件を無視すること。たとえば実数 $a$ に対して、$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$ には $\operatorname{Re}(s) > a$ が必要です。
3. 微分公式の初期値を忘れること。$\mathcal{L}\{f'(t)\}$ は単に $sF(s)$ ではありません。
4. ほぼ合っているが厳密には違う表の項目を使うこと。符号やシフトの小さな違いで、答えが完全に変わることがあります。
5. 片側ラプラス変換と両側ラプラス変換を混同すること。初学者向けの表の多くは、$t=0$ から始まる片側版を使っています。

ラプラス変換の表が役立つ場面

ラプラス変換の表は、問題が $t \ge 0$ で与えられ、初期条件が重要なときに特に有用です。

• 微分方程式では、微分を代数項に変え、初期値問題を解きやすくします。
• 回路や制御では、入力、出力、伝達関数の解析に役立ちます。
• 信号とシステムでは、減衰、振動、系の応答をコンパクトに表せます。

ここでも収束条件は重要です。必要な領域で変換が収束しないなら、表の項目だけでは十分ではありません。

逆ラプラス変換：表を逆向きに読む

同じ表は逆ラプラス変換にも使えます。たとえば

$$\frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

を見たら、シフトされた余弦の形だと分かるので、逆向きに読んで

$$e^{-2t}\cos(3t)$$

と判断できます。

解答例では、これが最も速い方法になることがよくあります。まずパターンを見抜き、そのあと表とシフト則で正当化します。

似た問題をやってみよう

次の変換を求めてみてください。

$$e^{4t}\sin(2t)$$

まず表の正弦の行から始めて、そのあとシフトを丁寧に適用します。さらに 1 問やるなら、$e^{-t}\sin(5t)$ でも試して、符号によってシフトがどう変わるか比べてみてください。