Trasformata di Laplace — Tabella e proprietà

Una tabella della trasformata di Laplace raccoglie le coppie standard che si usano più spesso, come $1 \mapsto 1/s$, $e^{at} \mapsto 1/(s-a)$ e $\sin(at) \mapsto a/(s^2+a^2)$. È il modo più rapido per affrontare i problemi comuni sulla trasformata di Laplace senza ricalcolare ogni volta l’integrale definitorio.

Nella maggior parte dei corsi di calcolo, equazioni differenziali e ingegneria, si usa di default la trasformata di Laplace unilatera per $t \ge 0$:

$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$$

Qui $s$ è di solito una variabile complessa, e la formula ha senso solo dove l’integrale converge.

Il procedimento è semplice: abbina la funzione a una riga della tabella, poi usa un piccolo insieme di proprietà per somme, traslazioni o derivate.

Tabella della trasformata di Laplace: coppie comuni

Le voci qui sotto assumono la trasformata unilatera. La condizione di convergenza fa parte della risposta, non è un dettaglio facoltativo.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}(s)$	Condizione
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t^n$	\frac\{n!\}\{s^\{n+1\}}	$n$ è un intero non negativo, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	per $a$ reale, $\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 + a^2\}$	per $a$ reale, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 + a^2\}$	per $a$ reale, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\sinh(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 - a^2\}$	per $a$ reale, $\operatorname{Re}(s) >
$\cosh(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 - a^2\}$	per $a$ reale, $\operatorname{Re}(s) >

Se ricordi solo poche righe, ricorda $1$, $e^{at}$, $\sin(at)$ e $\cos(at)$. Molti esercizi dei libri di testo si riducono a queste righe più una proprietà.

Proprietà della trasformata di Laplace che usi davvero

La tabella deve gran parte della sua utilità a poche regole. Sono quelle che gli studenti usano più e più volte.

Linearità

Se le trasformate esistono, allora

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

È questa proprietà che ti permette di scomporre una somma in parti più piccole.

Traslazione esponenziale nel tempo

Se $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$, allora

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

Questa è la proprietà alla base di molte consultazioni della tabella. Moltiplicare per un esponenziale in $t$ trasla l’espressione in $s$.

Regola della derivata

Sotto le ipotesi usuali per la trasformata unilatera,

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

Ecco perché le trasformate di Laplace sono così utili per i problemi ai valori iniziali: la derivata diventa algebra più il valore iniziale.

Moltiplicazione per $t$

Se $F(s)$ è derivabile nella regione che ti serve, allora

$$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$$

Questo aiuta quando la funzione nel dominio del tempo ha un fattore $t$ che moltiplica qualcosa di più semplice.

Perché funziona una tabella della trasformata di Laplace

Il nucleo $e^{-st}$ trasforma crescita, decadimento e oscillazione nel dominio del tempo in espressioni algebriche in $s$. Questo conta perché l’algebra è spesso più facile da manipolare di derivate o integrali.

Quindi la tabella non è solo qualcosa da memorizzare. È uno strumento di riconoscimento di schemi: una volta che lo schema è chiaro, il calcolo spesso si riduce a una sola riga.

Esempio svolto: $\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\}$

Trova la trasformata di Laplace di

$$f(t) = e^{-2t}\cos(3t)$$

Parti dalla voce base della tabella

$$\mathcal{L}\{\cos(3t)\} = \frac{s}{s^2 + 9}$$

Ora usa la proprietà di traslazione esponenziale. Poiché $e^{-2t}$ significa $a=-2$, sostituisci $s$ con $s+2$:

$$\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\} = \frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

Per questa trasformata, la condizione diventa $\operatorname{Re}(s) > -2$.

Questo è tutto il calcolo. Una volta che conosci la coppia base e la regola di traslazione, non c’è bisogno di tornare all’integrale.

Errori comuni con una tabella della trasformata di Laplace

1. Confondere il segno nella regola di traslazione. Per $e^{at}f(t)$ il risultato è $F(s-a)$, quindi per $e^{-2t}f(t)$ ottieni $F(s+2)$.
2. Ignorare le condizioni di convergenza. Per esempio, per $a$ reale, $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$ richiede $\operatorname{Re}(s) > a$.
3. Dimenticare il valore iniziale nella formula della derivata. $\mathcal{L}\{f'(t)\}$ non è semplicemente $sF(s)$.
4. Usare una voce della tabella che quasi coincide, ma non esattamente. Una piccola variazione di segno o di traslazione può cambiare completamente la risposta.
5. Confondere la trasformata di Laplace unilatera con quella bilatera. La maggior parte delle tabelle introduttive usa la versione unilatera che parte da $t=0$.

Quando è utile una tabella della trasformata di Laplace

Le tabelle di Laplace sono più utili quando il problema è posto per $t \ge 0$ e le condizioni iniziali contano.

• Nelle equazioni differenziali, trasformano le derivate in termini algebrici e rendono più semplice risolvere i problemi ai valori iniziali.
• Nei circuiti e nel controllo, aiutano ad analizzare ingressi, uscite e funzioni di trasferimento.
• Nei segnali e sistemi, descrivono decadimento, oscillazione e risposta del sistema in forma compatta.

La condizione di convergenza conta anche qui. Se la trasformata non converge nella regione che ti serve, la sola voce della tabella non basta.

Trasformata inversa di Laplace: leggere la tabella al contrario

La stessa tabella si usa per le trasformate inverse di Laplace. Se vedi

$$\frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

puoi riconoscerla come il modello del coseno traslato e leggerla al contrario come

$$e^{-2t}\cos(3t)$$

Spesso questa è la strada più rapida negli esempi svolti: prima identifichi lo schema, poi lo giustifichi con la tabella e la regola di traslazione.

Prova un problema simile

Prova a trovare la trasformata di

$$e^{4t}\sin(2t)$$

Parti dalla riga del seno nella tabella, poi applica con attenzione la traslazione. Se vuoi fare un passo in più, prova una tua versione con $e^{-t}\sin(5t)$ e confronta come il segno cambia la traslazione.