Biến đổi Laplace — Bảng và các tính chất

Bảng biến đổi Laplace cho bạn các cặp chuẩn được dùng thường xuyên nhất, chẳng hạn $1 \mapsto 1/s$, $e^{at} \mapsto 1/(s-a)$, và $\sin(at) \mapsto a/(s^2+a^2)$. Đây là cách nhanh nhất để xử lý các bài toán biến đổi Laplace quen thuộc mà không phải tính lại tích phân định nghĩa mỗi lần.

Trong hầu hết các môn giải tích, phương trình vi phân và kỹ thuật, mặc định người ta dùng biến đổi Laplace một phía cho $t \ge 0$:

$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$$

Ở đây $s$ thường là một biến phức, và công thức chỉ có ý nghĩa tại những nơi tích phân hội tụ.

Quy trình làm rất đơn giản: ghép hàm với một dòng trong bảng, rồi dùng một số ít tính chất cho tổng, phép dịch hoặc đạo hàm.

Bảng biến đổi Laplace: Các cặp thường gặp

Các mục dưới đây giả sử dùng biến đổi một phía. Điều kiện hội tụ là một phần của đáp án, không phải phần bổ sung tùy chọn.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}(s)$	Điều kiện
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t^n$	\frac\{n!\}\{s^\{n+1\}}	$n$ là số nguyên không âm, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	với $a$ thực, $\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 + a^2\}$	với $a$ thực, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 + a^2\}$	với $a$ thực, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\sinh(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 - a^2\}$	với $a$ thực, $\operatorname{Re}(s) >
$\cosh(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 - a^2\}$	với $a$ thực, $\operatorname{Re}(s) >

Nếu bạn chỉ nhớ vài dòng, hãy nhớ $1$, $e^{at}$, $\sin(at)$ và $\cos(at)$. Nhiều bài tập trong giáo trình có thể quy về các dòng đó cộng với một tính chất.

Các tính chất của biến đổi Laplace thực sự hay dùng

Phần lớn sức mạnh của bảng đến từ một vài quy tắc. Đây là những quy tắc sinh viên dùng lặp đi lặp lại.

Tính tuyến tính

Nếu các biến đổi tồn tại, thì

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

Tính chất này cho phép bạn tách một tổng thành các phần nhỏ hơn.

Dịch mũ theo thời gian

Nếu $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$, thì

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

Đây là tính chất đứng sau rất nhiều phép tra bảng. Nhân với một hàm mũ theo $t$ sẽ làm dịch biểu thức theo $s$.

Quy tắc đạo hàm

Dưới các giả thiết quen thuộc cho biến đổi một phía,

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

Đó là lý do biến đổi Laplace rất hữu ích cho bài toán giá trị ban đầu: đạo hàm biến thành đại số cộng với giá trị ban đầu.

Nhân với $t$

Nếu $F(s)$ khả vi trong miền bạn cần, thì

$$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$$

Tính chất này hữu ích khi hàm trong miền thời gian có một thừa số $t$ nhân với một hàm đơn giản hơn.

Vì sao bảng biến đổi Laplace lại hiệu quả

Hạt nhân $e^{-st}$ biến sự tăng trưởng, suy giảm và dao động trong miền thời gian thành các biểu thức đại số theo $s$. Điều đó quan trọng vì đại số thường dễ thao tác hơn đạo hàm hoặc tích phân.

Vì vậy, bảng không chỉ là thứ để học thuộc. Nó là một công cụ nhận dạng mẫu: khi mẫu đã rõ, phép tính thường rút gọn còn một dòng.

Ví dụ mẫu: $\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\}$

Tìm biến đổi Laplace của

$$f(t) = e^{-2t}\cos(3t)$$

Bắt đầu từ mục cơ bản trong bảng

$$\mathcal{L}\{\cos(3t)\} = \frac{s}{s^2 + 9}$$

Bây giờ dùng tính chất dịch mũ. Vì $e^{-2t}$ nghĩa là $a=-2$, hãy thay $s$ bởi $s+2$:

$$\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\} = \frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

Với biến đổi này, điều kiện trở thành $\operatorname{Re}(s) > -2$.

Toàn bộ phép tính chỉ có vậy. Khi bạn đã biết cặp cơ bản và quy tắc dịch, không cần quay lại tích phân nữa.

Những lỗi thường gặp khi dùng bảng biến đổi Laplace

1. Nhầm dấu trong quy tắc dịch. Với $e^{at}f(t)$ thì kết quả là $F(s-a)$, nên với $e^{-2t}f(t)$ bạn được $F(s+2)$.
2. Bỏ qua điều kiện hội tụ. Ví dụ, với $a$ thực, $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$ cần $\operatorname{Re}(s) > a$.
3. Quên giá trị ban đầu trong công thức đạo hàm. $\mathcal{L}\{f'(t)\}$ không chỉ là $sF(s)$.
4. Dùng một dòng trong bảng gần giống nhưng không khớp hoàn toàn. Một thay đổi nhỏ về dấu hoặc phép dịch có thể làm đáp án đổi hoàn toàn.
5. Nhầm lẫn giữa biến đổi Laplace một phía và hai phía. Hầu hết các bảng nhập môn dùng phiên bản một phía bắt đầu từ $t=0$.

Khi nào bảng biến đổi Laplace hữu ích

Bảng Laplace hữu ích nhất khi bài toán được đặt cho $t \ge 0$ và điều kiện ban đầu có vai trò quan trọng.

• Trong phương trình vi phân, chúng biến đạo hàm thành các hạng đại số và giúp giải bài toán giá trị ban đầu dễ hơn.
• Trong mạch điện và điều khiển, chúng giúp phân tích đầu vào, đầu ra và hàm truyền.
• Trong tín hiệu và hệ thống, chúng mô tả sự suy giảm, dao động và đáp ứng hệ thống dưới dạng gọn.

Điều kiện hội tụ vẫn quan trọng ở đây. Nếu biến đổi không hội tụ trong miền bạn cần, thì chỉ riêng dòng trong bảng là chưa đủ.

Biến đổi Laplace ngược: Đọc bảng theo chiều ngược lại

Chính bảng đó cũng được dùng cho biến đổi Laplace ngược. Nếu bạn thấy

$$\frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

bạn có thể nhận ra đây là mẫu cosin đã dịch và đọc ngược lại thành

$$e^{-2t}\cos(3t)$$

Đó thường là cách nhanh nhất trong các ví dụ giải sẵn: nhận dạng mẫu trước, rồi biện minh bằng bảng và quy tắc dịch.

Thử một bài tương tự

Hãy thử tìm biến đổi của

$$e^{4t}\sin(2t)$$

Bắt đầu từ dòng sin trong bảng, rồi áp dụng phép dịch một cách cẩn thận. Nếu muốn làm thêm một bước nữa, hãy thử phiên bản của riêng bạn với $e^{-t}\sin(5t)$ và so sánh xem dấu làm thay đổi phép dịch như thế nào.