Laplace Dönüşümü — Tablo ve Özellikler

Bir Laplace dönüşümü tablosu, en sık kullanılan standart eşleşmeleri verir; örneğin $1 \mapsto 1/s$, $e^{at} \mapsto 1/(s-a)$ ve $\sin(at) \mapsto a/(s^2+a^2)$. Her seferinde tanımlayıcı integrali yeniden hesaplamadan yaygın Laplace dönüşümü sorularını çözmenin en hızlı yoludur.

Çoğu analiz, diferansiyel denklemler ve mühendislik dersinde varsayılan tanım, $t \ge 0$ için tek taraflı Laplace dönüşümüdür:

$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$$

Burada $s$ genellikle karmaşık bir değişkendir ve formül yalnızca integralin yakınsadığı yerde anlamlıdır.

İzlenecek yol basittir: fonksiyonu tablodaki bir satırla eşleştir, sonra toplamlar, kaydırmalar veya türevler için birkaç temel özelliği kullan.

Laplace Dönüşümü Tablosu: Yaygın Eşleşmeler

Aşağıdaki girdiler tek taraflı dönüşümü esas alır. Yakınsama koşulu cevabın bir parçasıdır, isteğe bağlı bir ek değildir.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}(s)$	Koşul
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t^n$	\frac\{n!\}\{s^\{n+1\}}	$n$ negatif olmayan bir tam sayıdır, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	gerçek $a$ için, $\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 + a^2\}$	gerçek $a$ için, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 + a^2\}$	gerçek $a$ için, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\sinh(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 - a^2\}$	gerçek $a$ için, $\operatorname{Re}(s) >
$\cosh(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 - a^2\}$	gerçek $a$ için, $\operatorname{Re}(s) >

Yalnızca birkaç satırı hatırlayacaksan, $1$, $e^{at}$, $\sin(at)$ ve $\cos(at)$ satırlarını hatırla. Birçok ders kitabı sorusu bu satırlara ve bir özelliğe indirgenir.

Gerçekte Kullandığınız Laplace Dönüşümü Özellikleri

Tablo gücünün büyük kısmını birkaç kuraldan alır. Öğrencilerin tekrar tekrar kullandığı kurallar bunlardır.

Doğrusallık

Dönüşümler varsa,

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

Bu özellik, bir toplamı daha küçük parçalara ayırmanı sağlar.

Zamanda Üstel Kaydırma

Eğer $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ ise,

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

Bu, birçok tablo kullanımının arkasındaki özelliktir. $t$ cinsinden üstel bir ifadeyle çarpmak, ifadeyi $s$ içinde kaydırır.

Türev Kuralı

Tek taraflı dönüşüm için alışılmış varsayımlar altında,

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

Laplace dönüşümlerinin başlangıç değer problemlerinde bu kadar yararlı olmasının nedeni budur: türev, cebirsel bir ifadeye ve başlangıç değerine dönüşür.

$t$ ile Çarpma

Eğer $F(s)$ gerekli bölgede türevlenebilirse,

$$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$$

Bu, zaman bölgesindeki fonksiyon daha basit bir ifadeyle çarpılmış bir $t$ çarpanı içerdiğinde işe yarar.

Laplace Dönüşümü Tablosu Neden İşe Yarar?

$e^{-st}$ çekirdeği, zaman bölgesindeki büyüme, sönüm ve salınımı $s$ cinsinden cebirsel ifadelere dönüştürür. Bu önemlidir çünkü cebirle işlem yapmak çoğu zaman türevler veya integrallerle uğraşmaktan daha kolaydır.

Bu yüzden tablo sadece ezberlenecek bir şey değildir. Bir örüntü eşleştirme aracıdır: örüntü netleştiğinde hesap çoğu zaman tek satıra iner.

Çözümlü Örnek: $\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\}$

Aşağıdaki fonksiyonun Laplace dönüşümünü bulun:

$$f(t) = e^{-2t}\cos(3t)$$

Önce tablodaki temel girdiden başla:

$$\mathcal{L}\{\cos(3t)\} = \frac{s}{s^2 + 9}$$

Şimdi üstel kaydırma özelliğini kullan. $e^{-2t}$ ifadesinde $a=-2$ olduğundan, $s$ yerine $s+2$ yaz:

$$\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\} = \frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

Bu dönüşüm için koşul $\operatorname{Re}(s) > -2$ olur.

Hesabın tamamı budur. Temel eşleşmeyi ve kaydırma kuralını bildiğinde, integrale geri dönmeye gerek kalmaz.

Laplace Dönüşümü Tablosunda Sık Yapılan Hatalar

1. Kaydırma kuralındaki işareti karıştırmak. $e^{at}f(t)$ için sonuç $F(s-a)$ olur; dolayısıyla $e^{-2t}f(t)$ için $F(s+2)$ elde edilir.
2. Yakınsama koşullarını göz ardı etmek. Örneğin gerçek $a$ için $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$ ifadesi $\operatorname{Re}(s) > a$ koşulunu gerektirir.
3. Türev formülündeki başlangıç değerini unutmak. $\mathcal{L}\{f'(t)\}$ yalnızca $sF(s)$ değildir.
4. Neredeyse uyan ama tam uymayan bir tablo girdisini kullanmak. İşaretteki ya da kaydırmadaki küçük bir değişiklik cevabı tamamen değiştirebilir.
5. Tek taraflı ve çift taraflı Laplace dönüşümlerini karıştırmak. Giriş düzeyindeki tabloların çoğu, $t=0$'dan başlayan tek taraflı sürümü kullanır.

Laplace Dönüşümü Tablosu Ne Zaman Yararlıdır?

Laplace tabloları en çok, problem $t \ge 0$ için verildiğinde ve başlangıç koşulları önemli olduğunda yararlıdır.

• Diferansiyel denklemlerde türevleri cebirsel terimlere dönüştürür ve başlangıç değer problemlerini çözmeyi kolaylaştırır.
• Devreler ve kontrolde girişleri, çıkışları ve transfer fonksiyonlarını incelemeye yardımcı olur.
• Sinyaller ve sistemlerde sönümü, salınımı ve sistem tepkisini kompakt bir biçimde ifade eder.

Burada da yakınsama koşulu önemini korur. Dönüşüm ihtiyaç duyduğun bölgede yakınsamıyorsa, tek başına tablo girdisi yeterli değildir.

Ters Laplace Dönüşümü: Tabloyu Tersten Oku

Aynı tablo ters Laplace dönüşümleri için de kullanılır. Eğer

$$\frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

ifadesini görürsen, bunu kaydırılmış kosinüs örüntüsü olarak tanıyıp tersten

$$e^{-2t}\cos(3t)$$

şeklinde okuyabilirsin.

Çözülmüş örneklerde çoğu zaman en hızlı yol budur: önce örüntüyü belirle, sonra bunu tablo ve kaydırma kuralıyla gerekçelendir.

Benzer Bir Soru Dene

Aşağıdaki ifadenin dönüşümünü bulmayı dene:

$$e^{4t}\sin(2t)$$

Tablodaki sinüs satırından başla, sonra kaydırmayı dikkatlice uygula. Bundan sonra bir adım daha istersen, $e^{-t}\sin(5t)$ ile kendi sürümünü dene ve işaretin kaydırmayı nasıl değiştirdiğini karşılaştır.