Transformasi Laplace — Tabel dan Sifat

Tabel transformasi Laplace memberi Anda pasangan standar yang paling sering digunakan, seperti $1 \mapsto 1/s$, $e^{at} \mapsto 1/(s-a)$, dan $\sin(at) \mapsto a/(s^2+a^2)$. Ini adalah cara tercepat untuk menangani soal transformasi Laplace yang umum tanpa menghitung ulang integral definisinya setiap kali.

Dalam kebanyakan mata kuliah kalkulus, persamaan diferensial, dan teknik, yang digunakan secara default adalah transformasi Laplace satu sisi untuk $t \ge 0$:

$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$$

Di sini $s$ biasanya merupakan variabel kompleks, dan rumus ini hanya bermakna di daerah tempat integralnya konvergen.

Alurnya sederhana: cocokkan fungsi dengan satu baris pada tabel, lalu gunakan sejumlah kecil sifat untuk penjumlahan, pergeseran, atau turunan.

Tabel Transformasi Laplace: Pasangan Umum

Entri di bawah ini mengasumsikan transformasi satu sisi. Syarat konvergensi adalah bagian dari jawaban, bukan tambahan opsional.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}(s)$	Syarat
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t^n$	\frac\{n!\}\{s^\{n+1\}}	$n$ adalah bilangan bulat tak negatif, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	untuk $a$ real, $\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 + a^2\}$	untuk $a$ real, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 + a^2\}$	untuk $a$ real, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\sinh(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 - a^2\}$	untuk $a$ real, $\operatorname{Re}(s) >
$\cosh(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 - a^2\}$	untuk $a$ real, $\operatorname{Re}(s) >

Jika Anda hanya mengingat beberapa baris, ingat $1$, $e^{at}$, $\sin(at)$, dan $\cos(at)$. Banyak soal di buku teks dapat direduksi ke baris-baris itu ditambah satu sifat.

Sifat Transformasi Laplace yang Benar-Benar Dipakai

Sebagian besar kekuatan tabel berasal dari beberapa aturan. Inilah yang dipakai siswa berulang kali.

Linearitas

Jika transformasinya ada, maka

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

Inilah yang memungkinkan Anda memecah suatu jumlah menjadi bagian-bagian yang lebih kecil.

Pergeseran Eksponensial dalam Waktu

Jika $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$, maka

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

Inilah sifat di balik banyak pencarian pada tabel. Mengalikan dengan eksponensial dalam $t$ menggeser ekspresi pada $s$.

Aturan Turunan

Di bawah hipotesis biasa untuk transformasi satu sisi,

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

Inilah alasan transformasi Laplace sangat berguna untuk masalah nilai awal: turunan berubah menjadi aljabar ditambah nilai awal.

Perkalian dengan $t$

Jika $F(s)$ terdiferensialkan pada daerah yang Anda perlukan, maka

$$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$$

Ini membantu ketika fungsi pada domain waktu memiliki faktor $t$ yang mengalikan sesuatu yang lebih sederhana.

Mengapa Tabel Transformasi Laplace Bekerja

Kernel $e^{-st}$ mengubah pertumbuhan, peluruhan, dan osilasi pada domain waktu menjadi ekspresi aljabar dalam $s$. Ini penting karena aljabar sering lebih mudah dimanipulasi daripada turunan atau integral.

Jadi tabel ini bukan sekadar sesuatu untuk dihafal. Ini adalah alat pencocokan pola: begitu polanya jelas, perhitungannya sering menyusut menjadi satu baris.

Contoh Dikerjakan: $\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\}$

Carilah transformasi Laplace dari

$$f(t) = e^{-2t}\cos(3t)$$

Mulailah dari entri dasar pada tabel

$$\mathcal{L}\{\cos(3t)\} = \frac{s}{s^2 + 9}$$

Sekarang gunakan sifat pergeseran eksponensial. Karena $e^{-2t}$ berarti $a=-2$, gantilah $s$ dengan $s+2$:

$$\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\} = \frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

Untuk transformasi ini, syaratnya menjadi $\operatorname{Re}(s) > -2$.

Itulah seluruh perhitungannya. Setelah Anda mengetahui pasangan dasar dan aturan pergeseran, tidak perlu kembali ke integral.

Kesalahan Umum Saat Menggunakan Tabel Transformasi Laplace

1. Tertukar tanda pada aturan pergeseran. Untuk $e^{at}f(t)$ hasilnya adalah $F(s-a)$, jadi untuk $e^{-2t}f(t)$ Anda memperoleh $F(s+2)$.
2. Mengabaikan syarat konvergensi. Misalnya, untuk $a$ real, $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$ memerlukan $\operatorname{Re}(s) > a$.
3. Lupa nilai awal pada rumus turunan. $\mathcal{L}\{f'(t)\}$ bukan hanya $sF(s)$.
4. Menggunakan entri tabel yang hampir cocok tetapi tidak persis. Perubahan kecil pada tanda atau pergeseran dapat mengubah jawaban sepenuhnya.
5. Mencampur transformasi Laplace satu sisi dan dua sisi. Sebagian besar tabel pengantar menggunakan versi satu sisi yang dimulai dari $t=0$.

Kapan Tabel Transformasi Laplace Berguna

Tabel Laplace paling berguna ketika soal dirumuskan untuk $t \ge 0$ dan kondisi awal penting.

• Dalam persamaan diferensial, tabel ini mengubah turunan menjadi suku aljabar dan membuat masalah nilai awal lebih mudah diselesaikan.
• Dalam rangkaian dan kontrol, tabel ini membantu menganalisis masukan, keluaran, dan fungsi alih.
• Dalam sinyal dan sistem, tabel ini menggambarkan peluruhan, osilasi, dan respons sistem dalam bentuk yang ringkas.

Syarat konvergensi tetap penting di sini. Jika transformasinya tidak konvergen pada daerah yang Anda perlukan, entri tabel saja tidak cukup.

Transformasi Laplace Invers: Baca Tabel Secara Terbalik

Tabel yang sama digunakan untuk transformasi Laplace invers. Jika Anda melihat

$$\frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

Anda dapat mengenalinya sebagai pola kosinus yang digeser dan membacanya secara terbalik sebagai

$$e^{-2t}\cos(3t)$$

Ini sering menjadi cara tercepat dalam contoh yang sudah diselesaikan: identifikasi polanya terlebih dahulu, lalu benarkan dengan tabel dan aturan pergeseran.

Coba Soal Serupa

Cobalah mencari transformasi dari

$$e^{4t}\sin(2t)$$

Mulailah dari baris sinus pada tabel, lalu terapkan pergeseran dengan hati-hati. Jika Anda ingin satu langkah lagi setelah itu, coba versi Anda sendiri dengan $e^{-t}\sin(5t)$ dan bandingkan bagaimana tandanya mengubah pergeseran.