拉普拉斯变换表——常用公式与性质

拉普拉斯变换表列出了最常用的标准对应关系，例如 $1 \mapsto 1/s$、$e^{at} \mapsto 1/(s-a)$ 和 $\sin(at) \mapsto a/(s^2+a^2)$。它是处理常见拉普拉斯变换题目的最快方法，不必每次都重新计算定义中的积分。

在大多数微积分、微分方程和工程课程中，默认使用的是 $t \ge 0$ 的单边拉普拉斯变换：

$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$$

这里的 $s$ 通常是复变量，并且只有在积分收敛的地方，这个公式才有意义。

基本思路很简单：先把函数与表中的某一行对应起来，再用少量性质处理求和、平移或导数。

拉普拉斯变换表：常见对应关系

下面的条目都默认是单边变换。收敛条件是答案的一部分，不是可有可无的补充。

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}(s)$	条件
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t^n$	\frac\{n!\}\{s^\{n+1\}}	$n$ 是非负整数，$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	对实数 $a$，$\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 + a^2\}$	对实数 $a$，$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 + a^2\}$	对实数 $a$，$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\sinh(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 - a^2\}$	对实数 $a$，$\operatorname{Re}(s) >
$\cosh(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 - a^2\}$	对实数 $a$，$\operatorname{Re}(s) >

如果你只能记住几行，那就先记住 $1$、$e^{at}$、$\sin(at)$ 和 $\cos(at)$。很多教材中的题目都可以化归为这些基本行再加上一条性质。

真正常用的拉普拉斯变换性质

这张表之所以强大，主要来自少数几条规则。学生反复使用的通常就是下面这些。

线性性质

如果这些变换都存在，那么

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

这条性质让你可以把一个和拆成几个更小的部分分别处理。

时间域中的指数平移

如果 $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$，那么

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

很多查表都依赖这条性质。在 $t$ 域乘上一个指数函数，会使 $s$ 域中的表达式发生平移。

导数公式

在单边变换的通常条件下，

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

这就是为什么拉普拉斯变换对初值问题特别有用：导数会变成代数式，再加上初值。

乘以 $t$

如果 $F(s)$ 在所需区域内可导，那么

$$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$$

当时域函数是“$t$ 乘以一个更简单的函数”时，这条性质尤其有帮助。

为什么拉普拉斯变换表有效

核函数 $e^{-st}$ 会把时域中的增长、衰减和振荡转化为 $s$ 中的代数表达式。这一点很重要，因为代数运算通常比处理导数或积分更容易。

所以，这张表不只是用来死记硬背的。它本质上是一个模式匹配工具：一旦看清模式，计算往往就能缩减成一行。

例题：$\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\}$

求下面函数的拉普拉斯变换：

$$f(t) = e^{-2t}\cos(3t)$$

先从基本表项开始：

$$\mathcal{L}\{\cos(3t)\} = \frac{s}{s^2 + 9}$$

现在使用指数平移性质。因为 $e^{-2t}$ 表示 $a=-2$，所以把 $s$ 替换为 $s+2$：

$$\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\} = \frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

对这个变换，收敛条件变为 $\operatorname{Re}(s) > -2$。

整个计算就是这样。只要知道基本对应和移位规则，就没必要再回到积分定义。

使用拉普拉斯变换表时的常见错误

1. 把移位公式中的符号弄反。对于 $e^{at}f(t)$，结果是 $F(s-a)$，所以对 $e^{-2t}f(t)$ 应得到 $F(s+2)$。
2. 忽略收敛条件。例如对实数 $a$，$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$ 需要满足 $\operatorname{Re}(s) > a$。
3. 忘记导数公式中的初值。$\mathcal{L}\{f'(t)\}$ 不只是 $sF(s)$。
4. 使用了“几乎匹配”但并不完全一致的表项。符号或平移上的一个小变化，都可能让答案完全不同。
5. 混淆单边和双边拉普拉斯变换。大多数入门表格使用的是从 $t=0$ 开始的单边版本。

什么时候拉普拉斯变换表最有用

当题目是在 $t \ge 0$ 上提出，并且初始条件很重要时，拉普拉斯变换表尤其有用。

• 在微分方程中，它把导数变成代数项，使初值问题更容易求解。
• 在电路与控制中，它有助于分析输入、输出和传递函数。
• 在信号与系统中，它能用紧凑的形式描述衰减、振荡和系统响应。

这里收敛条件仍然很重要。如果在你需要的区域内变换不收敛，那么仅靠表项本身是不够的。

拉普拉斯逆变换：把表反过来读

同一张表也可以用来做拉普拉斯逆变换。如果你看到

$$\frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

你可以认出它是平移后的余弦模式，并反向读出为

$$e^{-2t}\cos(3t)$$

在很多例题中，这往往是最快的方法：先识别模式，再用表和移位公式加以说明。

试一道类似的题

试着求下面函数的变换：

$$e^{4t}\sin(2t)$$

先从表中的正弦那一行出发，再仔细应用移位。如果你还想多做一步，可以试试你自己的版本，比如 $e^{-t}\sin(5t)$，比较一下符号变化是如何影响平移的。