Cómo resolver ecuaciones diferenciales

Para resolver una ecuación diferencial, lo primero es identificar el tipo de ecuación. Una ecuación diferencial es aquella que contiene una función $y$ y su derivada $\frac{dy}{dx}$, y su solución no es un número, sino una función. En el caso de las ecuaciones de variables separables, que suelen ser las primeras que se aprenden, la solución se obtiene separando $x$ y $y$ para luego integrar.

En esta página, revisaremos brevemente qué es una ecuación diferencial y veremos cómo resolver una de variables separables a través de un ejercicio. Además, repasaremos los errores más comunes para que no te pillen por sorpresa al principio.

¿Qué es una ecuación diferencial?

Por ejemplo, expresiones como

$\frac{dy}{dx} = 2x$

o

$\frac{dy}{dx} = 2xy$

que contienen una función desconocida $y$ y su derivada $\frac{dy}{dx}$, son ecuaciones diferenciales.

Aquí, lo que buscamos no es un valor numérico, sino una función $y$ que cumpla con la condición. Por ejemplo,

$y = x^2 + C$

es una solución que satisface $\frac{dy}{dx} = 2x$. Si tenemos una condición inicial, podemos determinar $C$ y obtener una solución particular y concreta.

El primer paso: Identificar el tipo de ecuación

Las ecuaciones diferenciales no se resuelven siempre con el mismo procedimiento. Lo primero que debes observar es a qué tipo pertenece la ecuación. Si saltas este paso, es probable que intentes aplicar un método que no encaja y te quedes atascado en los cálculos.

En esta página trataremos las ecuaciones de variables separables. Estas tienen una forma en la que es fácil separar la parte relativa a $x$ de la parte relativa a $y$, como en:

$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$

Si se pueden separar, las llevamos a la forma:

$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$

y procedemos a integrar ambos lados.

Sin embargo, si divides por $h(y)$, debes verificar por separado el caso en que esta sea $h(y)=0$. Si olvidas esto, podrías perder soluciones constantes.

5 pasos para resolver ecuaciones de variables separables

En este tipo de ecuaciones, el flujo de trabajo es muy claro:

1. Confirmar si tiene la forma $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$.
2. Separar la parte que contiene $y$ de la que contiene $x$.
3. Integrar ambos lados de la ecuación.
4. Si es necesario, simplificar exponenciales o logaritmos para despejar $y$.
5. Si hay una condición inicial, determinar la constante de integración.

Más que la velocidad del cálculo, es fundamental ser consciente de "por dónde dividiste" y "bajo qué condiciones es correcta esa transformación".

Ejemplo: $\frac{dy}{dx} = 2xy,\ y(0)=3$

Consideremos el siguiente problema de valor inicial:

$\frac{dy}{dx} = 2xy,\quad y(0)=3$

Como el lado derecho es $2x \cdot y$, se trata de una ecuación de variables separables. Dado que el valor inicial es $y(0)=3$, podemos asumir que $y \ne 0$ es válido al menos cerca de $x=0$. En ese rango, al dividir por $y$, obtenemos:

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 2x$

Por lo tanto, podemos separar las variables así:

$\frac{1}{y}\,dy = 2x\,dx$

Integrando ambos lados:

$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 2x\,dx$

$\ln|y| = x^2 + C$

Si convertimos esto a una función exponencial, tenemos:

$|y| = e^\{x^2 + C\} = Ae^\{x^2\}$

Absorbiendo el signo de la constante, podemos escribirlo como:

$y = Ce^{x^2}$

Aplicando ahora la condición inicial $y(0)=3$:

$3 = Ce^0 = C$

Por lo tanto:

$y = 3e^{x^2}$

Más allá de la mecánica del cálculo, lo importante de este ejemplo es analizar si "se puede separar" y "cuál es la condición para poder dividir por $y$". Cabe mencionar que en esta ecuación $y=0$ también es una solución, pero no cumple con la condición inicial $y(0)=3$.

Errores comunes

1. Aplicar este mismo procedimiento a ecuaciones que no son de variables separables.
2. Olvidar la constante de integración $C$ después de integrar ambos lados.
3. Ser descuidado con los valores absolutos o la absorción de constantes al pasar de $\ln|y|$ a $y$.
4. No verificar si la cantidad por la que se dividió (como $y$ o $h(y)$) puede ser $0$.
5. Detenerse en la solución general sin aplicar la condición inicial hasta el final.

Especialmente el cuarto punto es una causa común de pérdida de soluciones, aunque el cálculo parezca limpio. Después de realizar una división, lo más seguro es preguntarse: "¿Habrá otra solución en el caso de que esa cantidad sea $0$?".

¿Dónde se utilizan las ecuaciones diferenciales?

Las ecuaciones diferenciales aparecen cuando conocemos la ley del cambio y queremos encontrar la función original a partir de ese cambio. No solo en clase de matemáticas, sino que la lógica es la misma en problemas para hallar la posición a partir de la velocidad, modelos de crecimiento y decrecimiento, o cambios en la corriente eléctrica y la concentración de sustancias.

Sin embargo, no todas las ecuaciones diferenciales se resuelven por separación de variables. Dependiendo del tipo —ecuaciones lineales de primer orden, homogéneas, de segundo orden, etc.— las herramientas cambian. Por eso, el primer paso siempre debe ser identificar el tipo de ecuación antes de empezar a calcular.

Un ejercicio para practicar

Intenta resolver la siguiente ecuación siguiendo el mismo flujo:

$\frac{dy}{dx} = 3xy,\quad y(0)=2$

Separa $y$ a la izquierda y $x$ a la derecha, integra y finalmente usa la condición inicial para determinar la constante.

Cuando resuelvas problemas similares por tu cuenta, asegúrate de verificar "dónde dividiste" y "si se ha perdido alguna solución en el proceso". Dominarás las ecuaciones diferenciales cuando incluyas estas comprobaciones como parte de tu hábito de estudio.