Laplace-Transformation — Tabelle und Eigenschaften

Eine Tabelle der Laplace-Transformation enthält die Standardpaare, die man am häufigsten verwendet, zum Beispiel $1 \mapsto 1/s$, $e^{at} \mapsto 1/(s-a)$ und $\sin(at) \mapsto a/(s^2+a^2)$. Sie ist der schnellste Weg, typische Aufgaben zur Laplace-Transformation zu lösen, ohne jedes Mal das definierende Integral neu auszurechnen.

In den meisten Kursen zu Analysis, Differentialgleichungen und Ingenieurwissenschaften verwendet man standardmäßig die einseitige Laplace-Transformation für $t \ge 0$:

$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$$

Hier ist $s$ meist eine komplexe Variable, und die Formel ist nur dort sinnvoll, wo das Integral konvergiert.

Das Vorgehen ist einfach: Ordne die Funktion einer Zeile in der Tabelle zu und nutze dann einige wenige Regeln für Summen, Verschiebungen oder Ableitungen.

Tabelle der Laplace-Transformation: Häufige Paare

Die folgenden Einträge beziehen sich auf die einseitige Transformation. Die Konvergenzbedingung gehört zur Antwort dazu und ist kein optionaler Zusatz.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}(s)$	Bedingung
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t^n$	\frac\{n!\}\{s^\{n+1\}}	$n$ ist eine nichtnegative ganze Zahl, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	für reelles $a$, $\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 + a^2\}$	für reelles $a$, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 + a^2\}$	für reelles $a$, $\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\sinh(at)$	$\frac\{a\}\{s^2 - a^2\}$	für reelles $a$, $\operatorname{Re}(s) >
$\cosh(at)$	$\frac\{s\}\{s^2 - a^2\}$	für reelles $a$, $\operatorname{Re}(s) >

Wenn du dir nur ein paar Zeilen merkst, dann merke dir $1$, $e^{at}$, $\sin(at)$ und $\cos(at)$. Viele Aufgaben aus Lehrbüchern lassen sich auf diese Zeilen plus eine zusätzliche Regel zurückführen.

Eigenschaften der Laplace-Transformation, die man wirklich benutzt

Die Tabelle gewinnt ihre Stärke vor allem durch einige wenige Regeln. Genau diese verwenden Studierende immer wieder.

Linearität

Wenn die Transformationen existieren, dann gilt

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

Damit kann man eine Summe in kleinere Teile zerlegen.

Exponentielle Verschiebung im Zeitbereich

Wenn $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$, dann gilt

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

Diese Eigenschaft steckt hinter vielen Tabellenanwendungen. Die Multiplikation mit einer Exponentialfunktion in $t$ verschiebt den Ausdruck in $s$.

Ableitungsregel

Unter den üblichen Voraussetzungen für die einseitige Transformation gilt

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

Deshalb sind Laplace-Transformationen für Anfangswertprobleme so nützlich: Die Ableitung wird zu Algebra plus Anfangswert.

Multiplikation mit $t$

Wenn $F(s)$ in dem benötigten Bereich differenzierbar ist, dann gilt

$$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$$

Das hilft, wenn die Funktion im Zeitbereich einen Faktor $t$ vor einer einfacheren Funktion hat.

Warum eine Tabelle der Laplace-Transformation funktioniert

Der Kern $e^{-st}$ verwandelt Wachstum, Abklingen und Schwingung im Zeitbereich in algebraische Ausdrücke in $s$. Das ist wichtig, weil sich mit Algebra oft leichter arbeiten lässt als mit Ableitungen oder Integralen.

Die Tabelle ist also nicht nur etwas zum Auswendiglernen. Sie ist ein Werkzeug zur Mustererkennung: Sobald das Muster klar ist, schrumpft die Rechnung oft auf eine einzige Zeile.

Durchgerechnetes Beispiel: $\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\}$

Bestimme die Laplace-Transformation von

$$f(t) = e^{-2t}\cos(3t)$$

Beginne mit dem Grundeintrag aus der Tabelle

$$\mathcal{L}\{\cos(3t)\} = \frac{s}{s^2 + 9}$$

Verwende nun die Eigenschaft der exponentiellen Verschiebung. Da $e^{-2t}$ bedeutet, dass $a=-2$ ist, ersetze $s$ durch $s+2$:

$$\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\} = \frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

Für diese Transformation lautet die Bedingung dann $\operatorname{Re}(s) > -2$.

Das ist schon die ganze Rechnung. Wenn du das Grundpaar und die Verschiebungsregel kennst, musst du nicht zum Integral zurückgehen.

Häufige Fehler bei einer Tabelle der Laplace-Transformation

1. Das Vorzeichen in der Verschiebungsregel verwechseln. Für $e^{at}f(t)$ ist das Ergebnis $F(s-a)$, also erhält man für $e^{-2t}f(t)$ den Ausdruck $F(s+2)$.
2. Konvergenzbedingungen ignorieren. Zum Beispiel braucht man für reelles $a$ bei $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$ die Bedingung $\operatorname{Re}(s) > a$.
3. Den Anfangswert in der Ableitungsformel vergessen. $\mathcal{L}\{f'(t)\}$ ist nicht einfach nur $sF(s)$.
4. Einen Tabelleneintrag verwenden, der fast passt, aber nicht genau. Eine kleine Änderung im Vorzeichen oder in der Verschiebung kann die Antwort vollständig verändern.
5. Einseitige und zweiseitige Laplace-Transformation verwechseln. Die meisten Einführungstabellen verwenden die einseitige Version mit Start bei $t=0$.

Wann eine Tabelle der Laplace-Transformation nützlich ist

Laplace-Tabellen sind besonders nützlich, wenn die Aufgabe für $t \ge 0$ gestellt ist und Anfangsbedingungen wichtig sind.

• In Differentialgleichungen verwandeln sie Ableitungen in algebraische Terme und machen Anfangswertprobleme leichter lösbar.
• In der Schaltungsanalyse und Regelungstechnik helfen sie bei der Analyse von Eingängen, Ausgängen und Übertragungsfunktionen.
• In der Signal- und Systemtheorie beschreiben sie Abklingen, Schwingung und Systemantwort in kompakter Form.

Die Konvergenzbedingung bleibt dabei wichtig. Wenn die Transformation in dem benötigten Bereich nicht konvergiert, reicht der Tabelleneintrag allein nicht aus.

Inverse Laplace-Transformation: Die Tabelle rückwärts lesen

Dieselbe Tabelle wird auch für inverse Laplace-Transformationen verwendet. Wenn du

$$\frac{s+2}{(s+2)^2 + 9}$$

siehst, kannst du das als verschobenes Kosinus-Muster erkennen und rückwärts lesen als

$$e^{-2t}\cos(3t)$$

Das ist in gelösten Beispielen oft der schnellste Weg: zuerst das Muster erkennen und es dann mit der Tabelle und der Verschiebungsregel begründen.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche, die Transformation von

$$e^{4t}\sin(2t)$$

zu bestimmen.

Gehe von der Sinus-Zeile in der Tabelle aus und wende dann die Verschiebung sorgfältig an. Wenn du danach noch einen Schritt weitergehen willst, probiere deine eigene Variante mit $e^{-t}\sin(5t)$ und vergleiche, wie das Vorzeichen die Verschiebung verändert.