Lista de Fórmulas de Cálculo Diferencial e Integral

Para quienes necesiten revisar rápidamente las fórmulas de cálculo, primero resumiremos las formas esenciales. La derivación mide "cuánto cambia algo en un instante", mientras que la integración mide "cuánto se ha acumulado". Lo primero que debes dominar son las fórmulas básicas de polinomios, funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Si solo memorizas las fórmulas sin contexto, es fácil bloquearse al intentar aplicarlas. Por eso, lo más práctico es estudiar la fórmula junto con "en qué casos se usa" y "dónde están las excepciones". Especialmente en la integración, $n = -1$ es una excepción, y en la derivación existen reglas distintas para productos, cocientes y funciones compuestas.

Vista rápida de las fórmulas de cálculo

Si tienes prisa, con revisar estas formas es suficiente.

Fórmulas básicas de derivación

$\frac{d}{dx} c = 0$

$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$

$\frac{d}{dx} \left(af(x) + bg(x)\right) = af'(x) + bg'(x)$

Aquí, $a$, $b$ y $c$ son constantes. Los polinomios se pueden derivar término a término.

Para productos, cocientes y funciones compuestas, utilizamos lo siguiente:

$\frac{d}{dx} \left(f(x)g(x)\right) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}, \quad g(x) \ne 0$

Además, cuando una función está anidada dentro de otra, es necesaria la regla de la cadena.

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$

En formas anidadas como $(2x+1)^5$ o $\sin(3x)$, no se puede omitir la regla de la cadena.

Fórmulas básicas de integración

$\int c \, dx = cx + C$

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1$

$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

En la integración es muy común olvidar la $+C$ al final, así que, al trabajar con integrales indefinidas, asume que siempre debes incluirla.

Fórmulas de derivación frecuentes

Estas son las formas básicas que más aparecen:

$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}, \quad x > 0$

La fórmula de derivación de $\ln x$, en el ámbito de los números reales, se usa tal cual cuando $x > 0$. Si memorizas también el dominio de la función, evitarás confusiones.

Fórmulas de integración frecuentes

Las integrales indefinidas de las funciones básicas son más fáciles de recordar si las estudias en pareja con sus derivadas.

$\int e^x \, dx = e^x + C$

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$

En estas tres es muy común cometer errores de signo; si tienes dudas, deriva el resultado para ver si regresas a la función original.

Ejemplo práctico: Cómo funcionan las fórmulas

Analicemos la siguiente expresión:

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$

Al ser un polinomio, tanto la derivada como la integral se pueden procesar término a término.

Primero, al derivar:

$f'(x) = 6x^2 - 6x + 4$

Es más fácil seguir el proceso si piensas: "bajo el exponente un nivel y multiplico por el exponente anterior".

Luego, al calcular la integral indefinida de la misma expresión:

$\int \left(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1\right)\,dx = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 - x + C$

Lo que queremos observar en este ejemplo es que, en la derivación, el exponente baja uno, mientras que en la integración, el exponente sube uno. Sin embargo, como la integración incluye la $+C$, no es una operación inversa exacta de 1 a 1, sino una "operación inversa con un margen de diferencia constante".

Errores comunes en el cálculo

1. Insertar directamente $n = -1$ en $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Recuerda que $1/x$ es $\ln|x| + C$.
2. En funciones compuestas como $(2x+1)^5$, derivar solo la parte externa y olvidar multiplicar por la derivada de la parte interna. Este es el error típico de la regla de la cadena.
3. Olvidar la $+C$ en las integrales. Es indispensable en toda integral indefinida.
4. Confundir los signos de $\int \sin x \, dx$ y $\int \cos x \, dx$. Si dudas, deriva el resultado para verificar.
5. Derivar cada término por separado cuando es necesario aplicar la regla del producto o del cociente. Los productos y cocientes siguen reglas distintas a las de las sumas.

¿Cuándo usar cada fórmula?

Las fórmulas de derivación se utilizan para hallar la pendiente de una recta tangente, la velocidad, la aceleración, o para encontrar máximos y mínimos. Las fórmulas de integración se usan frecuentemente para calcular áreas, distancias recorridas o la acumulación de una cantidad.

En resumen, las fórmulas de cálculo no son solo una tabla de operaciones; son herramientas para movernos entre el "cómo cambia ahora" y el "cuánto se ha acumulado". Con esta perspectiva, elegir la fórmula correcta se vuelve mucho más natural.

Ponlo en práctica

Intenta derivar $f(x) = 3x^4 - 2x + 7$ por tu cuenta y, después, calcula la integral indefinida de esa misma expresión. Una vez que domines las fórmulas de polinomios, prueba a derivar $(3x+1)^4$ para practicar los casos donde es necesaria la regla de la cadena.

Si quieres seguir practicando, intenta analizar expresiones que incluyan funciones trigonométricas o compuestas y decide qué fórmula es la adecuada para cada caso.