Στάσιμα κύματα

Ένα στάσιμο κύμα είναι ένα κυματικό πρότυπο που δεν διαδίδεται στο μέσο όπως ένα συνηθισμένο κύμα. Στην ιδανική περίπτωση, σχηματίζεται όταν δύο κύματα με την ίδια συχνότητα και το ίδιο πλάτος κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις στο ίδιο μέσο και συμβάλλουν. Το αποτέλεσμα είναι ένα ακίνητο πρότυπο με σταθερούς δεσμούς και κοιλίες.

Για ένα τυπικό ιδανικό μοντέλο, η απομάκρυνση μπορεί να γραφτεί ως

$$y(x,t) = 2A \sin(kx)\cos(\omega t)$$

Ο χρονικός παράγοντας $\cos(\omega t)$ διατηρεί το μέσο σε ταλάντωση, ενώ ο χωρικός παράγοντας $\sin(kx)$ καθορίζει πού το πλάτος είναι πάντα μηδέν και πού είναι μέγιστο.

Δεσμοί και κοιλίες σε ένα στάσιμο κύμα

Δεσμός είναι μια θέση όπου η απομάκρυνση παραμένει μηδέν σε κάθε χρονική στιγμή. Κοιλία είναι μια θέση όπου η ταλάντωση φτάνει στο μέγιστο πλάτος της.

Αυτό είναι το βασικό οπτικό χαρακτηριστικό. Ορισμένα σημεία δεν κινούνται ποτέ, ενώ κοντινά σημεία ταλαντώνονται με διαφορετικά πλάτη. Το πρότυπο είναι σταθερό στον χώρο, παρόλο που το υλικό της χορδής ή της στήλης αέρα εξακολουθεί να κινείται.

Πότε σχηματίζονται στάσιμα κύματα

Η συνηθισμένη εικόνα είναι ένα κύμα που ανακλάται σε ένα όριο και επικαλύπτεται με το προσπίπτον κύμα. Σε μια ιδανική χορδή στερεωμένη και στα δύο άκρα, μόνο ορισμένα πρότυπα ικανοποιούν τη συνοριακή συνθήκη ότι και τα δύο άκρα παραμένουν με μηδενική απομάκρυνση.

Γι’ αυτό τα στάσιμα κύματα σε μια χορδή εμφανίζονται μόνο για συγκεκριμένα μήκη κύματος και συχνότητες, που ονομάζονται ιδιομορφές ή αρμονικές.

Για μια χορδή μήκους $L$ στερεωμένη και στα δύο άκρα,

$$\lambda_n = \frac{2L}{n}$$

και

$$f_n = \frac{nv}{2L}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

όπου $v$ είναι η ταχύτητα του κύματος στη χορδή και το $n$ δηλώνει την αρμονική.

Αυτοί οι τύποι εξαρτώνται από τη διάταξη. Ισχύουν για μια ιδανική χορδή στερεωμένη και στα δύο άκρα, όχι για κάθε σύστημα στάσιμου κύματος.

Λυμένο παράδειγμα: Τρίτη αρμονική σε στερεωμένη χορδή

Έστω ότι μια χορδή είναι στερεωμένη και στα δύο άκρα, έχει μήκος $L = 0.60\ \mathrm{m}$, και υποστηρίζει κύματα με ταχύτητα $v = 120\ \mathrm{m/s}$. Να βρεθεί η συχνότητα της τρίτης αρμονικής.

Για μια στερεωμένη χορδή,

$$f_n = \frac{nv}{2L}$$

Χρησιμοποιώντας $n = 3$,

$$f_3 = \frac{3(120)}{2(0.60)} = \frac{360}{1.20} = 300\ \mathrm{Hz}$$

Άρα η συχνότητα της τρίτης αρμονικής είναι $300\ \mathrm{Hz}$.

Το σχήμα έχει επίσης σημασία. Η τρίτη αρμονική χωρά τρία ημιμήκη κύματος μέσα στη χορδή, οπότε η χορδή έχει δεσμούς και στα δύο άκρα και δύο εσωτερικούς δεσμούς. Η απόσταση ανάμεσα σε γειτονικούς δεσμούς είναι $L/3 = 0.20\ \mathrm{m}$.

Γρήγορη διαίσθηση: Γιατί το πρότυπο φαίνεται παγωμένο

Ένα διαδιδόμενο κύμα μεταφέρει κορυφές και κοιλάδες από το ένα σημείο στο άλλο. Ένα στάσιμο κύμα όχι. Η συμβολή κρατά τις θέσεις των δεσμών και των κοιλιών σταθερές.

Η ενέργεια εξακολουθεί να υπάρχει στο σύστημα, αλλά το ορατό πρότυπο δεν κινείται κατά μήκος του μέσου με τον ίδιο τρόπο όπως ένα μεμονωμένο διαδιδόμενο κύμα. Αυτή είναι συνήθως η βασική αντίθεση που χρειάζονται πρώτα οι μαθητές.

Συνηθισμένα λάθη με τα στάσιμα κύματα

• Να αποκαλείται κάθε ταλαντούμενο σχήμα στάσιμο κύμα. Το καθοριστικό χαρακτηριστικό είναι οι σταθεροί δεσμοί.
• Να χρησιμοποιείται ο τύπος $f_n = \frac{nv}{2L}$ χωρίς να αναφέρεται η συνθήκη ότι η χορδή είναι στερεωμένη και στα δύο άκρα.
• Να θεωρείται ότι το μέσο είναι ακίνητο επειδή το πρότυπο είναι στάσιμο. Το πρότυπο μένει στη θέση του, αλλά τα περισσότερα σημεία εξακολουθούν να ταλαντώνονται.
• Να υποτίθεται ότι κάθε ανακλώμενο κύμα δημιουργεί τέλειο στάσιμο κύμα. Η καθαρότερη περίπτωση απαιτεί ίδια συχνότητα, αντίθετες κατευθύνσεις διάδοσης και τις σωστές συνοριακές συνθήκες.
• Να συγχέονται οι δεσμοί με τις κοιλίες. Οι δεσμοί έχουν μηδενική απομάκρυνση· οι κοιλίες έχουν μέγιστο πλάτος.

Πού εμφανίζονται τα στάσιμα κύματα

Τα στάσιμα κύματα είναι σημαντικά σε χορδές, στήλες αέρα, μουσικά όργανα, κοιλότητες μικροκυμάτων και σε πολλά προβλήματα συντονισμού στη φυσική και τη μηχανική.

Είναι χρήσιμα επειδή οι επιτρεπόμενες ιδιομορφές είναι διακριτές. Μόλις καθοριστούν τα όρια, μόνο ορισμένα πρότυπα χωρούν, και αυτό είναι που δίνει στις αρμονικές τη δομή τους.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε να λύσεις ξανά το ίδιο πρόβλημα της χορδής με την πρώτη ή τη δεύτερη αρμονική αντί για την τρίτη. Αλλάζοντας μόνο το $n$ είναι ένας γρήγορος τρόπος να δεις πώς συνδέονται το μήκος κύματος, το πρότυπο των δεσμών και η συχνότητα.

Αν θέλεις να εξερευνήσεις μετά μια άλλη περίπτωση κυμάτων, σύγκρινε αυτό το θέμα με το interference and diffraction. Τα στάσιμα κύματα προκύπτουν επίσης από συμβολή, αλλά εδώ η γεωμετρία και οι συνοριακές συνθήκες παίζουν πολύ μεγαλύτερο ρόλο.