Πλάτος και Συχνότητα

Το πλάτος δείχνει πόσο μακριά απομακρύνεται μια ταλάντωση από τη θέση ισορροπίας. Η συχνότητα δείχνει πόσους πλήρεις κύκλους εκτελεί κάθε δευτερόλεπτο. Με λίγα λόγια, το πλάτος περιγράφει το μέγεθος της κίνησης, ενώ η συχνότητα το πόσο συχνά επαναλαμβάνεται.

Ένα κύμα μπορεί να έχει μεγάλο πλάτος και μικρή συχνότητα ή μικρό πλάτος και μεγάλη συχνότητα. Σε ένα ιδανικό γραμμικό μοντέλο, η μεταβολή του ενός δεν αλλάζει αυτόματα το άλλο.

Το Πλάτος Μετρά τη Μέγιστη Απομάκρυνση

Το πλάτος μετριέται από τη θέση ισορροπίας μέχρι μια κορυφή ή μέχρι μια κοιλάδα. Αν η απομάκρυνση φτάνει τα $+3\ \mathrm{cm}$ στο υψηλότερο σημείο και τα $-3\ \mathrm{cm}$ στο χαμηλότερο σημείο, τότε το πλάτος είναι $3\ \mathrm{cm}$.

Εδώ γίνεται συχνά λάθος. Η συνολική απόσταση από πάνω προς τα κάτω είναι η τιμή κορυφή-προς-κορυφή, που σε αυτό το παράδειγμα είναι $6\ \mathrm{cm}$, όχι το πλάτος.

Η Συχνότητα Μετρά Κύκλους Ανά Δευτερόλεπτο

Η συχνότητα δείχνει πόσο συχνά επαναλαμβάνεται η κίνηση. Η μονάδα SI είναι το χερτζ, όπου $1\ \mathrm{Hz} = 1$ κύκλος ανά δευτερόλεπτο.

Αν μια ταλάντωση ολοκληρώνει $5$ πλήρεις κύκλους σε $1$ δευτερόλεπτο, τότε η συχνότητά της είναι $5\ \mathrm{Hz}$. Αν γνωρίζεις την περίοδο $T$, δηλαδή τον χρόνο για έναν κύκλο, τότε

$$f = \frac{1}{T}$$

Άρα, όσο μικρότερη είναι η περίοδος, τόσο μεγαλύτερη είναι η συχνότητα.

Λυμένο Παράδειγμα Από Ημιτονοειδές Κύμα

Θεώρησε ένα κύμα που περιγράφεται από τη σχέση

$$y(t) = 4 \sin(10\pi t)$$

Υπόθεσε ότι το $y$ μετριέται σε εκατοστά και το $t$ σε δευτερόλεπτα.

Σε αυτή την τυπική μορφή, ο αριθμός μπροστά από τη συνάρτηση ημιτόνου δίνει το πλάτος, άρα

$$A = 4\ \mathrm{cm}$$

Για να βρεις τη συχνότητα, σύγκρινε την παράσταση με την τυπική μορφή

$$y(t) = A \sin(2\pi f t)$$

Εδώ,

$$2\pi f = 10\pi$$

οπότε

$$f = 5\ \mathrm{Hz}$$

Αυτό το κύμα φτάνει σε μέγιστη απομάκρυνση $4\ \mathrm{cm}$ από τη θέση ισορροπίας και ολοκληρώνει $5$ πλήρεις κύκλους κάθε δευτερόλεπτο.

Το παράδειγμα δείχνει καθαρά τη διαφορά:

• το πλάτος απαντά στο «πόσο μακριά;»
• η συχνότητα απαντά στο «πόσο συχνά;»

Συνηθισμένα Λάθη με το Πλάτος και τη Συχνότητα

Σύγχυση του πλάτους με την απόσταση κορυφή-προς-κορυφή

Το πλάτος είναι το μισό του συνολικού κατακόρυφου εύρους. Αν η κίνηση πηγαίνει από $-2$ έως $+2$, το πλάτος είναι $2$ και όχι $4$.

Η λανθασμένη υπόθεση ότι μεγαλύτερο πλάτος σημαίνει μεγαλύτερη συχνότητα

Αυτό δεν ισχύει γενικά. Σε ένα ιδανικό γραμμικό σύστημα, μπορείς να αλλάξεις το πλάτος χωρίς να αλλάξεις τη συχνότητα. Ορισμένα πραγματικά συστήματα συμπεριφέρονται διαφορετικά, αλλά αυτό εξαρτάται από το ίδιο το σύστημα.

Μέτρηση μισών κύκλων ως πλήρων κύκλων

Η συχνότητα μετρά πλήρεις επαναλήψεις. Η κίνηση από τη μέση προς την κορυφή και πίσω στη μέση είναι μόνο μισός κύκλος.

Σύγχυση της συχνότητας με την ταχύτητα κύματος

Η συχνότητα περιγράφει τον ρυθμό επανάληψης. Η ταχύτητα κύματος περιγράφει πόσο γρήγορα η διαταραχή διαδίδεται στον χώρο. Συνδέονται σε πολλά μοντέλα κυμάτων, αλλά δεν είναι το ίδιο μέγεθος.

Πού Έχουν Σημασία το Πλάτος και η Συχνότητα

Το πλάτος και η συχνότητα εμφανίζονται στον ήχο, στο φως, στα ελατήρια, στα κυκλώματα και στα υδάτινα κύματα. Στον ήχο, η συχνότητα σχετίζεται με το ύψος του ήχου, ενώ μεγαλύτερο πλάτος συνήθως σημαίνει ισχυρότερο σήμα και, στο ίδιο σύστημα, πιο δυνατός ήχος. Στην απλή αρμονική ταλάντωση, το πλάτος καθορίζει το μέγεθος της ταλάντωσης και η συχνότητα το πόσο γρήγορα επαναλαμβάνεται η κίνηση.

Το ακριβές φυσικό αποτέλεσμα εξαρτάται από το σύστημα, γι’ αυτό είναι καλύτερο να αντιμετωπίζεις πρώτα το πλάτος και τη συχνότητα ως γενικούς περιγραφικούς όρους και μετά να προσθέτεις το πλαίσιο.

Δοκίμασε Ένα Παρόμοιο Πρόβλημα

Πάρε τη σχέση

$$y(t) = 2 \cos(6\pi t)$$

Βρες το πλάτος και τη συχνότητα. Έπειτα άλλαξε το $2$ σε $7$ χωρίς να αλλάξεις το υπόλοιπο της εξίσωσης. Θα δεις ότι το πλάτος αλλάζει, αλλά η συχνότητα παραμένει ίδια.

Αν θέλεις ένα χρήσιμο επόμενο βήμα, σύγκρινέ το με την απλή αρμονική ταλάντωση για να δεις πώς το πλάτος και η συχνότητα εντάσσονται σε ένα πλήρες μοντέλο ταλάντωσης.