Δεκαδικοί αριθμοί — Αξία θέσης, στρογγυλοποίηση και πράξεις

Οι δεκαδικοί αριθμοί είναι αριθμοί που χρησιμοποιούν την αξία θέσης για να δείξουν ολόκληρους αριθμούς και μέρη ενός όλου στη βάση $10$. Τα ψηφία στα δεξιά της υποδιαστολής σημαίνουν δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά και μικρότερα μέρη.

Στο $4.386$, το $4$ σημαίνει $4$ μονάδες, το $3$ σημαίνει $3$ δέκατα, το $8$ σημαίνει $8$ εκατοστά και το $6$ σημαίνει $6$ χιλιοστά. Μόλις γίνει κατανοητή αυτή η ιδέα της αξίας θέσης, η σύγκριση, η στρογγυλοποίηση και οι υπολογισμοί με δεκαδικούς γίνονται πολύ πιο εύκολοι.

Πώς λειτουργεί η αξία θέσης στους δεκαδικούς

Κάθε θέση αξίζει το ένα δέκατο της θέσης στα αριστερά της.

Γι’ αυτό

$$0.1 = \frac{1}{10}, \quad 0.01 = \frac{1}{100}, \quad 0.001 = \frac{1}{1000}$$

και γι’ αυτό

$$4.386 = 4 + \frac{3}{10} + \frac{8}{100} + \frac{6}{1000}$$

Αυτή είναι η βασική ιδέα πίσω από την ανάγνωση των δεκαδικών, τη σύγκρισή τους, τη στρογγυλοποίησή τους και τις πράξεις με αυτούς.

Πώς να συγκρίνεις σωστά δεκαδικούς

Σύγκρινε πρώτα τις μεγαλύτερες αξίες θέσης. Αν τα ψηφία των μονάδων είναι ίδια, προχώρα στα δέκατα, μετά στα εκατοστά και έπειτα στα χιλιοστά.

Για παράδειγμα, σύγκρινε το $2.5$ και το $2.49$. Και τα δύο έχουν $2$ μονάδες. Μετά σύγκρινε τα δέκατα: το $2.5$ έχει $5$ δέκατα, ενώ το $2.49$ έχει $4$ δέκατα. Άρα

$$2.5 > 2.49$$

Συχνά βοηθά να γράφεις μηδενικά στο τέλος όταν συγκρίνεις:

$$2.5 = 2.50$$

Η προσθήκη ενός μηδενικού στα δεξιά δεν αλλάζει την τιμή.

Πώς να στρογγυλοποιείς δεκαδικούς

Η στρογγυλοποίηση σημαίνει ότι αντικαθιστάς έναν αριθμό με μια κοντινή τιμή που είναι πιο εύχρηστη. Ο κανόνας εξαρτάται από τη θέση στην οποία στρογγυλοποιείς.

Για να στρογγυλοποιήσεις το $4.386$ στο πλησιέστερο εκατοστό, κοίτα το ψηφίο των χιλιοστών. Εφόσον αυτό το ψηφίο είναι $6$, το ψηφίο των εκατοστών αυξάνεται κατά ένα:

$$4.386 \approx 4.39$$

Για να στρογγυλοποιήσεις τον ίδιο αριθμό στο πλησιέστερο δέκατο, κοίτα το ψηφίο των εκατοστών. Εφόσον αυτό το ψηφίο είναι $8$, το ψηφίο των δεκάτων αυξάνεται κατά ένα:

$$4.386 \approx 4.4$$

Η συνθήκη έχει σημασία: το «πλησιέστερο δέκατο» και το «πλησιέστερο εκατοστό» είναι διαφορετικά ερωτήματα, άρα μπορούν να δώσουν διαφορετικές απαντήσεις.

Πώς λειτουργούν οι πράξεις με δεκαδικούς

Πρόσθεση και αφαίρεση

Στοίχισε τις υποδιαστολές ώστε κάθε αξία θέσης να μένει στην ίδια στήλη.

Για παράδειγμα,

$$12.45 + 3.7 = 12.45 + 3.70 = 16.15$$

Το επιπλέον μηδενικό δεν αλλάζει το $3.7$. Απλώς κάνει τις αξίες θέσης πιο εύκολες στο στοίχισμα.

Η αφαίρεση λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο:

$$12.45 - 3.70 = 8.75$$

Πολλαπλασιασμός

Όταν πολλαπλασιάζεις δεκαδικούς, το γινόμενο μπορεί να έχει περισσότερα δεκαδικά ψηφία από οποιονδήποτε παράγοντα. Ένας χρήσιμος έλεγχος είναι το μέγεθος.

Για παράδειγμα,

$$0.4 \times 0.3 = 0.12$$

Αυτό βγάζει νόημα επειδή και οι δύο παράγοντες είναι θετικοί και μικρότεροι από το $1$, άρα το γινόμενο πρέπει να είναι μικρότερο από κάθε παράγοντα.

Διαίρεση

Η διαίρεση ρωτά πόσες ομάδες χωρούν ή πόσο μεγάλο είναι κάθε μέρος. Με δεκαδικούς, συχνά είναι πιο εύκολο να ξαναγράψεις τη διαίρεση έτσι ώστε ο διαιρέτης να είναι ακέραιος αριθμός.

Για παράδειγμα,

$$1.26 \div 0.3 = 12.6 \div 3 = 4.2$$

Αυτό λειτουργεί επειδή ο πολλαπλασιασμός του διαιρετέου και του διαιρέτη με την ίδια μη μηδενική δύναμη του $10$ δεν αλλάζει το πηλίκο, αρκεί ο διαιρέτης να μην είναι $0$.

Ένα λυμένο παράδειγμα από την αρχή ως το τέλος

Έστω ότι ένας δρομέας διανύει $12.45$ km τη μία μέρα και $3.7$ km την επόμενη.

Πρώτα πρόσθεσε τις αποστάσεις:

$$12.45 + 3.70 = 16.15$$

Τώρα στρογγυλοποίησε το σύνολο στο πλησιέστερο δέκατο. Το ψηφίο των δεκάτων είναι $1$, και το ψηφίο των εκατοστών είναι $5$, οπότε το ψηφίο των δεκάτων αυξάνεται κατά ένα:

$$16.15 \approx 16.2$$

Αυτό το παράδειγμα δείχνει όλη τη διαδικασία: στοίχισε τις υποδιαστολές όταν προσθέτεις και μετά στρογγυλοποίησε ελέγχοντας το ψηφίο αμέσως στα δεξιά της ζητούμενης θέσης.

Συνηθισμένα λάθη με δεκαδικούς

Σύγκριση με βάση τον αριθμό των ψηφίων αντί για την αξία θέσης

Το $0.9$ είναι μεγαλύτερο από το $0.35$, παρόλο που το $35$ φαίνεται μεγαλύτερο από το $9$. Τα δέκατα προηγούνται των εκατοστών, άρα η αξία θέσης καθορίζει τη σύγκριση.

Ξεχνάς να στοιχίσεις τις υποδιαστολές

Στην πρόσθεση και την αφαίρεση, στοιχίζεις με βάση την αξία θέσης, όχι με βάση το τελευταίο ψηφίο.

Υποθέτεις ότι περισσότερα δεκαδικά ψηφία σημαίνουν μεγαλύτερο αριθμό

Το $2.50$ και το $2.5$ είναι ίσα. Τα επιπλέον μηδενικά στα δεξιά δεν αλλάζουν την τιμή.

Περιμένεις ότι κάθε κλάσμα θα τελειώνει ως δεκαδικός

Μερικοί δεκαδικοί είναι πεπερασμένοι, όπως το $0.25$. Άλλοι επαναλαμβάνονται για πάντα, όπως

$$\frac{1}{3} = 0.333\ldots$$

Άρα ένας δεκαδικός δεν χρειάζεται να σταματά για να παριστάνει έναν πραγματικό αριθμό.

Πού χρησιμοποιούνται οι δεκαδικοί

Οι δεκαδικοί χρησιμοποιούνται κάθε φορά που η ακρίβεια στη βάση 10 είναι χρήσιμη, ιδιαίτερα στα χρήματα, στις μετρήσεις, στη στατιστική και στα επιστημονικά δεδομένα.

Είναι πρακτικοί επειδή η αξία θέσης κάνει εύκολη την εκτίμηση, τη στρογγυλοποίηση και τη σύγκριση ποσοτήτων σε διαφορετικά επίπεδα ακρίβειας.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Πάρε το $7.268$. Ονόμασε τα ψηφία των δεκάτων, των εκατοστών και των χιλιοστών και μετά στρογγυλοποίησε τον αριθμό στο πλησιέστερο δέκατο και στο πλησιέστερο εκατοστό. Έπειτα, πρόσθεσε $7.268 + 0.45$ στοιχίζοντας τις υποδιαστολές. Αυτή η ακολουθία ελέγχει αν η βασική ιδέα έχει πραγματικά γίνει κατανοητή.