Dezimalzahlen — Stellenwert, Runden & Rechenoperationen

Dezimalzahlen sind Zahlen, die den Stellenwert nutzen, um ganze Zahlen und Teile eines Ganzen im Zahlensystem zur Basis $10$ darzustellen. Ziffern rechts vom Dezimaltrennzeichen bedeuten Zehntel, Hundertstel, Tausendstel und noch kleinere Teile.

In $4.386$ bedeutet die $4$ $4$ Einer, die $3$ bedeutet $3$ Zehntel, die $8$ bedeutet $8$ Hundertstel und die $6$ bedeutet $6$ Tausendstel. Wenn diese Stellenwertidee einmal klar ist, werden Vergleichen, Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen viel einfacher.

So funktioniert der Stellenwert bei Dezimalzahlen

Jede Stelle ist ein Zehntel der Stelle links von ihr wert.

Deshalb gilt

$$0.1 = \frac{1}{10}, \quad 0.01 = \frac{1}{100}, \quad 0.001 = \frac{1}{1000}$$

und deshalb

$$4.386 = 4 + \frac{3}{10} + \frac{8}{100} + \frac{6}{1000}$$

Das ist die Grundidee hinter dem Lesen von Dezimalzahlen, ihrem Vergleich, dem Runden und dem Rechnen mit ihnen.

So vergleicht man Dezimalzahlen richtig

Vergleiche zuerst die größten Stellenwerte. Wenn die Einerziffern gleich sind, gehe zu den Zehnteln, dann zu den Hundertsteln, dann zu den Tausendsteln.

Vergleiche zum Beispiel $2.5$ und $2.49$. Beide haben $2$ Einer. Vergleiche dann die Zehntel: $2.5$ hat $5$ Zehntel, während $2.49$ $4$ Zehntel hat. Also gilt

$$2.5 > 2.49$$

Oft hilft es, beim Vergleichen Nullen am Ende zu ergänzen:

$$2.5 = 2.50$$

Eine angehängte Null rechts ändert den Wert nicht.

So rundet man Dezimalzahlen

Runden bedeutet, eine Zahl durch einen nahen Wert zu ersetzen, der leichter zu verwenden ist. Die Regel hängt davon ab, auf welche Stelle du rundest.

Um $4.386$ auf das nächste Hundertstel zu runden, schaust du auf die Tausendstelziffer. Da diese Ziffer $6$ ist, wird die Hundertstelziffer aufgerundet:

$$4.386 \approx 4.39$$

Um dieselbe Zahl auf das nächste Zehntel zu runden, schaust du auf die Hundertstelziffer. Da diese Ziffer $8$ ist, wird die Zehntelziffer aufgerundet:

$$4.386 \approx 4.4$$

Die Bedingung ist wichtig: „auf das nächste Zehntel“ und „auf das nächste Hundertstel“ sind verschiedene Fragen und können daher unterschiedliche Ergebnisse liefern.

So funktionieren Rechenoperationen mit Dezimalzahlen

Addition und Subtraktion

Richte die Dezimaltrennzeichen untereinander aus, damit jeder Stellenwert in derselben Spalte bleibt.

Zum Beispiel

$$12.45 + 3.7 = 12.45 + 3.70 = 16.15$$

Die zusätzliche Null ändert $3.7$ nicht. Sie macht nur die Stellenwerte leichter vergleichbar.

Bei der Subtraktion funktioniert es genauso:

$$12.45 - 3.70 = 8.75$$

Multiplikation

Beim Multiplizieren von Dezimalzahlen kann das Produkt mehr Nachkommastellen haben als jeder der Faktoren. Eine nützliche Kontrolle ist die Größenordnung.

Zum Beispiel

$$0.4 \times 0.3 = 0.12$$

Das ergibt Sinn, weil beide Faktoren positiv und kleiner als $1$ sind. Daher sollte das Produkt kleiner sein als jeder der beiden Faktoren.

Division

Division fragt, wie viele Gruppen hineinpassen oder wie groß jede Gruppe ist. Bei Dezimalzahlen ist es oft am einfachsten, die Division so umzuschreiben, dass der Divisor eine ganze Zahl ist.

Zum Beispiel

$$1.26 \div 0.3 = 12.6 \div 3 = 4.2$$

Das funktioniert, weil das Multiplizieren von Dividend und Divisor mit derselben von null verschiedenen Zehnerpotenz den Quotienten nicht verändert, solange der Divisor nicht $0$ ist.

Ein vollständiges Beispiel von Anfang bis Ende

Angenommen, eine Läuferin legt an einem Tag $12.45$ km und am nächsten Tag $3.7$ km zurück.

Addiere zuerst die Strecken:

$$12.45 + 3.70 = 16.15$$

Runde nun die Gesamtsumme auf das nächste Zehntel. Die Zehntelziffer ist $1$, und die Hundertstelziffer ist $5$, also wird die Zehntelziffer aufgerundet:

$$16.15 \approx 16.2$$

Dieses Beispiel zeigt die ganze Kette: Richte beim Addieren die Dezimaltrennzeichen untereinander aus und runde dann, indem du die Ziffer direkt rechts von der Zielstelle prüfst.

Häufige Fehler bei Dezimalzahlen

Nach der Anzahl der Ziffern statt nach dem Stellenwert vergleichen

$0.9$ ist größer als $0.35$, obwohl $35$ größer aussieht als $9$. Zehntel kommen vor Hundertsteln, also entscheidet der Stellenwert über den Vergleich.

Vergessen, die Dezimaltrennzeichen untereinander auszurichten

Bei Addition und Subtraktion richtet man nach Stellenwert aus, nicht nach der letzten Ziffer.

Annehmen, dass mehr Nachkommastellen eine größere Zahl bedeuten

$2.50$ und $2.5$ sind gleich. Zusätzliche Nullen am Ende rechts ändern den Wert nicht.

Erwarten, dass jeder Bruch als endliche Dezimalzahl endet

Manche Dezimalzahlen enden, zum Beispiel $0.25$. Andere wiederholen sich unendlich, zum Beispiel

$$\frac{1}{3} = 0.333\ldots$$

Eine Dezimalzahl muss also nicht enden, um eine reelle Zahl darzustellen.

Wo Dezimalzahlen verwendet werden

Dezimalzahlen werden immer dann verwendet, wenn Genauigkeit im Zehnersystem nützlich ist, besonders bei Geld, Messungen, Statistik und wissenschaftlichen Daten.

Sie sind praktisch, weil der Stellenwert es leicht macht, Größen auf unterschiedlichen Genauigkeitsstufen zu schätzen, zu runden und zu vergleichen.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Nimm $7.268$. Bestimme die Zehntel-, Hundertstel- und Tausendstelziffer und runde die Zahl dann auf das nächste Zehntel und das nächste Hundertstel. Addiere danach $7.268 + 0.45$, indem du die Dezimaltrennzeichen untereinander ausrichtest. Diese Abfolge zeigt, ob die Grundidee wirklich sitzt.