小数 — 位取り、四捨五入、計算

小数は、$10$進法の位取りを使って整数と整数の一部を表す数です。小数点の右にある数字は、10分の1、100分の1、1000分の1、さらに小さい部分を表します。

$4.386$ では、$4$ は1が $4$ 個、$3$ は10分の1が $3$ 個、$8$ は100分の1が $8$ 個、$6$ は1000分の1が $6$ 個を意味します。この位取りの考え方がわかると、小数の大小比較、四捨五入、計算がずっとやりやすくなります。

小数の位取りのしくみ

各位の値は、その左の位の $\frac{1}{10}$ です。

だから

$$0.1 = \frac{1}{10}, \quad 0.01 = \frac{1}{100}, \quad 0.001 = \frac{1}{1000}$$

であり、

$$4.386 = 4 + \frac{3}{10} + \frac{8}{100} + \frac{6}{1000}$$

とも表せます。

これは、小数を読むこと、比べること、四捨五入すること、そして計算することの土台になる考え方です。

小数を正しく比べる方法

まず大きい位から比べます。1の位が同じなら、次に10分の1の位、100分の1の位、1000分の1の位へと進みます。

たとえば、$2.5$ と $2.49$ を比べます。どちらも1の位は $2$ です。次に10分の1の位を比べると、$2.5$ は10分の1が $5$ 個、$2.49$ は10分の1が $4$ 個です。したがって

$$2.5 > 2.49$$

となります。

比べるときは、右に0を補って書くとわかりやすいことがあります。

$$2.5 = 2.50$$

右側に0を付け足しても、値は変わりません。

小数の四捨五入のしかた

四捨五入とは、ある数を近くて使いやすい値に置き換えることです。ルールは、どの位で四捨五入するかによって決まります。

$4.386$ を100分の1の位まで四捨五入するには、1000分の1の位を見ます。その数字は $6$ なので、100分の1の位を切り上げます。

$$4.386 \approx 4.39$$

同じ数を10分の1の位まで四捨五入するには、100分の1の位を見ます。その数字は $8$ なので、10分の1の位を切り上げます。

$$4.386 \approx 4.4$$

条件が大切です。「10分の1の位まで」と「100分の1の位まで」は別の問いなので、答えも異なることがあります。

小数の計算のしくみ

足し算と引き算

同じ位の値が同じ縦の列にくるように、小数点をそろえます。

たとえば、

$$12.45 + 3.7 = 12.45 + 3.70 = 16.15$$

となります。

付け足した0によって $3.7$ の値は変わりません。位をそろえやすくしているだけです。

引き算も同じです。

$$12.45 - 3.70 = 8.75$$

かけ算

小数のかけ算では、積の小数の位の数が、どちらの因数よりも多くなることがあります。大きさを見て確かめるのが有効です。

たとえば、

$$0.4 \times 0.3 = 0.12$$

です。

これは、どちらの因数も正で $1$ より小さいので、積はどちらの因数よりも小さくなるはずだと考えると納得できます。

割り算

割り算は、いくつ分入るか、または1つ分の大きさがどれくらいかを考える計算です。小数の割り算では、割る数が整数になるように書きかえると簡単になることがよくあります。

たとえば、

$$1.26 \div 0.3 = 12.6 \div 3 = 4.2$$

です。

これは、割る数が $0$ でない限り、割られる数と割る数の両方に同じ $10$ のべき乗をかけても、商は変わらないからです。

最初から最後までの例題

あるランナーが、ある日に $12.45$ km、次の日に $3.7$ km 走ったとします。

まず距離を足します。

$$12.45 + 3.70 = 16.15$$

次に、合計を10分の1の位まで四捨五入します。10分の1の位は $1$、100分の1の位は $5$ なので、10分の1の位を切り上げます。

$$16.15 \approx 16.2$$

この例では、足し算では小数点をそろえ、そのあとで目的の位のすぐ右の数字を見て四捨五入する、という一連の流れがわかります。

小数でよくある間違い

位の値ではなく数字の個数で比べてしまう

$0.9$ は $0.35$ より大きい数です。$35$ のほうが $9$ より大きく見えても、比較を決めるのは位の値です。10分の1の位は100分の1の位より先に見ます。

小数点をそろえ忘れる

足し算と引き算では、最後の数字をそろえるのではなく、位の値でそろえます。

小数の桁が多いほど大きいと思ってしまう

$2.50$ と $2.5$ は等しい数です。右側の余分な0は、値を変えません。

すべての分数が有限小数になると思ってしまう

$0.25$ のように有限で終わる小数もあります。一方で、次のように無限にくり返す小数もあります。

$$\frac{1}{3} = 0.333\ldots$$

したがって、実数を表す小数は、必ずしも途中で終わる必要はありません。

小数が使われる場面

小数は、$10$進法で細かく表したいときに使われます。特に、お金、測定、統計、科学データでよく使われます。

位取りのしくみによって、見積もり、四捨五入、異なる精度での比較がしやすいので、とても実用的です。

似た問題に挑戦してみよう

$7.268$ について、10分の1の位、100分の1の位、1000分の1の位の数字を答えてください。そのあと、この数を10分の1の位までと100分の1の位まで四捨五入してみましょう。さらに、小数点をそろえて $7.268 + 0.45$ を計算してください。この流れで、基本の考え方が本当に身についているか確かめられます。