Nombres décimaux — Valeur de position, arrondi et opérations

Les nombres décimaux sont des nombres qui utilisent la valeur de position pour représenter des nombres entiers et des parties d’un tout en base $10$. Les chiffres à droite de la virgule représentent les dixièmes, les centièmes, les millièmes et des parts encore plus petites.

Dans $4.386$, le $4$ représente $4$ unités, le $3$ représente $3$ dixièmes, le $8$ représente $8$ centièmes et le $6$ représente $6$ millièmes. Une fois cette idée de valeur de position comprise, il devient beaucoup plus facile de comparer, d’arrondir et de calculer avec des nombres décimaux.

Comment fonctionne la valeur de position des nombres décimaux

Chaque position vaut un dixième de la position située à sa gauche.

C’est pourquoi

$$0.1 = \frac{1}{10}, \quad 0.01 = \frac{1}{100}, \quad 0.001 = \frac{1}{1000}$$

et pourquoi

$$4.386 = 4 + \frac{3}{10} + \frac{8}{100} + \frac{6}{1000}$$

C’est l’idée clé pour lire les nombres décimaux, les comparer, les arrondir et effectuer des opérations avec eux.

Comment comparer correctement des nombres décimaux

Comparez d’abord les plus grandes valeurs de position. Si les chiffres des unités sont identiques, passez aux dixièmes, puis aux centièmes, puis aux millièmes.

Par exemple, comparons $2.5$ et $2.49$. Les deux ont $2$ unités. On compare ensuite les dixièmes : $2.5$ a $5$ dixièmes, tandis que $2.49$ a $4$ dixièmes. Donc

$$2.5 > 2.49$$

Il est souvent utile d’écrire des zéros finaux pour comparer :

$$2.5 = 2.50$$

Ajouter un zéro final à droite ne change pas la valeur.

Comment arrondir des nombres décimaux

Arrondir consiste à remplacer un nombre par une valeur proche plus facile à utiliser. La règle dépend de la position à laquelle vous arrondissez.

Pour arrondir $4.386$ au centième près, regardez le chiffre des millièmes. Comme ce chiffre est $6$, le chiffre des centièmes s’arrondit à l’unité supérieure :

$$4.386 \approx 4.39$$

Pour arrondir le même nombre au dixième près, regardez le chiffre des centièmes. Comme ce chiffre est $8$, le chiffre des dixièmes s’arrondit à l’unité supérieure :

$$4.386 \approx 4.4$$

La consigne est importante : « au dixième près » et « au centième près » sont deux questions différentes, donc elles peuvent donner des réponses différentes.

Comment fonctionnent les opérations sur les nombres décimaux

Addition et soustraction

Alignez les virgules pour que chaque valeur de position reste dans la même colonne.

Par exemple,

$$12.45 + 3.7 = 12.45 + 3.70 = 16.15$$

Le zéro supplémentaire ne change pas $3.7$. Il rend seulement les valeurs de position plus faciles à aligner.

La soustraction fonctionne de la même manière :

$$12.45 - 3.70 = 8.75$$

Multiplication

Quand on multiplie des nombres décimaux, le produit peut avoir plus de chiffres après la virgule que chacun des facteurs. Une vérification utile consiste à estimer l’ordre de grandeur.

Par exemple,

$$0.4 \times 0.3 = 0.12$$

Cela a du sens parce que les deux facteurs sont positifs et inférieurs à $1$, donc le produit doit être inférieur à chacun des deux facteurs.

Division

La division demande combien de groupes peuvent être formés, ou quelle est la taille de chaque groupe. Avec des nombres décimaux, il est souvent plus simple de réécrire la division pour que le diviseur soit un nombre entier.

Par exemple,

$$1.26 \div 0.3 = 12.6 \div 3 = 4.2$$

Cela fonctionne parce que multiplier le dividende et le diviseur par la même puissance non nulle de $10$ ne change pas le quotient, tant que le diviseur n’est pas $0$.

Un exemple complet du début à la fin

Supposons qu’un coureur parcoure $12.45$ km un jour puis $3.7$ km le lendemain.

Commencez par additionner les distances :

$$12.45 + 3.70 = 16.15$$

Arrondissez maintenant le total au dixième près. Le chiffre des dixièmes est $1$, et le chiffre des centièmes est $5$, donc le chiffre des dixièmes s’arrondit à l’unité supérieure :

$$16.15 \approx 16.2$$

Cet exemple montre toute la démarche : alignez les virgules lors de l’addition, puis arrondissez en regardant le chiffre immédiatement à droite de la position visée.

Erreurs courantes avec les nombres décimaux

Comparer par le nombre de chiffres au lieu de la valeur de position

$0.9$ est plus grand que $0.35$ même si $35$ semble plus grand que $9$. Les dixièmes viennent avant les centièmes, donc c’est la valeur de position qui décide de la comparaison.

Oublier d’aligner les virgules

En addition et en soustraction, on aligne selon la valeur de position, pas selon le dernier chiffre.

Penser que plus il y a de chiffres décimaux, plus le nombre est grand

$2.50$ et $2.5$ sont égaux. Des zéros supplémentaires à droite ne changent pas la valeur.

Penser que toute fraction se termine forcément en écriture décimale

Certains nombres décimaux sont finis, comme $0.25$. D’autres se répètent à l’infini, comme

$$\frac{1}{3} = 0.333\ldots$$

Donc un nombre décimal n’a pas besoin de s’arrêter pour représenter un nombre réel.

Où les nombres décimaux sont utilisés

Les nombres décimaux sont utilisés chaque fois qu’une précision en base 10 est utile, en particulier pour l’argent, les mesures, les statistiques et les données scientifiques.

Ils sont pratiques parce que la valeur de position permet d’estimer, d’arrondir et de comparer facilement des quantités à différents niveaux de précision.

Essayez un problème similaire

Prenez $7.268$. Donnez les chiffres des dixièmes, des centièmes et des millièmes, puis arrondissez le nombre au dixième près et au centième près. Ensuite, calculez $7.268 + 0.45$ en alignant les virgules. Cette suite d’étapes permet de vérifier si l’idée essentielle est bien comprise.