Números decimais — valor posicional, arredondamento e operações

Números decimais são números que usam valor posicional para representar números inteiros e partes de um todo na base $10$. Os algarismos à direita da vírgula representam décimos, centésimos, milésimos e partes menores.

Em $4.386$, o $4$ significa $4$ unidades, o $3$ significa $3$ décimos, o $8$ significa $8$ centésimos e o $6$ significa $6$ milésimos. Quando essa ideia de valor posicional faz sentido, comparar, arredondar e calcular com números decimais fica muito mais fácil.

Como funciona o valor posicional nos números decimais

Cada casa vale um décimo da casa à sua esquerda.

É por isso que

$$0.1 = \frac{1}{10}, \quad 0.01 = \frac{1}{100}, \quad 0.001 = \frac{1}{1000}$$

e por isso que

$$4.386 = 4 + \frac{3}{10} + \frac{8}{100} + \frac{6}{1000}$$

Essa é a ideia principal por trás da leitura de números decimais, da comparação entre eles, do arredondamento e das operações com eles.

Como comparar números decimais corretamente

Compare primeiro os maiores valores posicionais. Se os algarismos das unidades forem iguais, passe para os décimos, depois para os centésimos e depois para os milésimos.

Por exemplo, compare $2.5$ e $2.49$. Ambos têm $2$ unidades. Depois compare os décimos: $2.5$ tem $5$ décimos, enquanto $2.49$ tem $4$ décimos. Então

$$2.5 > 2.49$$

Muitas vezes ajuda escrever zeros à direita ao comparar:

$$2.5 = 2.50$$

Adicionar um zero à direita não muda o valor.

Como arredondar números decimais

Arredondar significa substituir um número por um valor próximo que seja mais fácil de usar. A regra depende da casa para a qual você está arredondando.

Para arredondar $4.386$ para o centésimo mais próximo, observe o algarismo dos milésimos. Como esse algarismo é $6$, o algarismo dos centésimos é arredondado para cima:

$$4.386 \approx 4.39$$

Para arredondar o mesmo número para o décimo mais próximo, observe o algarismo dos centésimos. Como esse algarismo é $8$, o algarismo dos décimos é arredondado para cima:

$$4.386 \approx 4.4$$

A condição importa: “décimo mais próximo” e “centésimo mais próximo” são perguntas diferentes, então podem dar respostas diferentes.

Como funcionam as operações com números decimais

Adição e subtração

Alinhe as vírgulas para que cada valor posicional permaneça na mesma coluna.

Por exemplo,

$$12.45 + 3.7 = 12.45 + 3.70 = 16.15$$

O zero extra não muda $3.7$. Ele apenas facilita o alinhamento dos valores posicionais.

A subtração funciona do mesmo jeito:

$$12.45 - 3.70 = 8.75$$

Multiplicação

Ao multiplicar números decimais, o produto pode ter mais casas decimais do que qualquer um dos fatores. Uma verificação útil é o tamanho do resultado.

Por exemplo,

$$0.4 \times 0.3 = 0.12$$

Isso faz sentido porque ambos os fatores são positivos e menores que $1$, então o produto deve ser menor do que qualquer um dos fatores.

Divisão

A divisão pergunta quantos grupos cabem, ou qual é o tamanho de cada grupo. Com números decimais, muitas vezes é mais fácil reescrever a divisão para que o divisor seja um número inteiro.

Por exemplo,

$$1.26 \div 0.3 = 12.6 \div 3 = 4.2$$

Isso funciona porque multiplicar o dividendo e o divisor pela mesma potência não nula de $10$ não altera o quociente, desde que o divisor não seja $0$.

Um exemplo resolvido do começo ao fim

Suponha que um corredor percorra $12.45$ km em um dia e $3.7$ km no dia seguinte.

Primeiro, some as distâncias:

$$12.45 + 3.70 = 16.15$$

Agora arredonde o total para o décimo mais próximo. O algarismo dos décimos é $1$, e o algarismo dos centésimos é $5$, então o algarismo dos décimos é arredondado para cima:

$$16.15 \approx 16.2$$

Este exemplo mostra a sequência completa: alinhe as vírgulas ao somar e depois arredonde observando o algarismo imediatamente à direita da casa desejada.

Erros comuns com números decimais

Comparar pela quantidade de algarismos em vez do valor posicional

$0.9$ é maior que $0.35$, embora $35$ pareça maior que $9$. Décimos vêm antes de centésimos, então o valor posicional determina a comparação.

Esquecer de alinhar as vírgulas

Na adição e na subtração, você alinha pelo valor posicional, não pelo último algarismo.

Achar que mais casas decimais significam um número maior

$2.50$ e $2.5$ são iguais. Zeros extras à direita não mudam o valor.

Esperar que toda fração termine como decimal

Alguns decimais são finitos, como $0.25$. Outros se repetem para sempre, como

$$\frac{1}{3} = 0.333\ldots$$

Então um decimal não precisa terminar para representar um número real.

Onde os números decimais são usados

Números decimais são usados sempre que a precisão na base 10 é útil, especialmente em dinheiro, medidas, estatística e dados científicos.

Eles são práticos porque o valor posicional facilita estimar, arredondar e comparar quantidades em diferentes níveis de precisão.

Tente um problema parecido

Considere $7.268$. Identifique os algarismos dos décimos, centésimos e milésimos e depois arredonde o número para o décimo mais próximo e para o centésimo mais próximo. Depois disso, some $7.268 + 0.45$ alinhando as vírgulas. Essa sequência verifica se a ideia principal realmente ficou clara.