Εφαπτομένη σε κύκλο — Ιδιότητες & Θεωρήματα

Μια εφαπτομένη σε κύκλο είναι μια ευθεία που αγγίζει τον κύκλο σε ακριβώς ένα σημείο. Το βασικό θεώρημα λέει ότι η ακτίνα προς το σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη, οπότε τα προβλήματα με εφαπτομένες μετατρέπονται πολύ γρήγορα σε προβλήματα ορθογωνίων τριγώνων ή γωνιών.

Αν μια ευθεία απλώς φαίνεται να αγγίζει τον κύκλο, μην χρησιμοποιήσεις θεωρήματα εφαπτομένης μέχρι να είναι σαφές ότι αυτό ισχύει. Τα περισσότερα λάθη γίνονται όταν μια τέμνουσα ή μια συνηθισμένη ευθεία αντιμετωπίζεται σαν εφαπτομένη.

Εφαπτομένη σε κύκλο: Βασική ιδιότητα

Αν η ευθεία $l$ είναι εφαπτομένη σε έναν κύκλο στο σημείο $T$, τότε

$$OT \perp l$$

όπου $O$ είναι το κέντρο του κύκλου.

Αυτό συχνά ονομάζεται θεώρημα ακτίνας-εφαπτομένης. Η συνθήκη έχει σημασία: η ακτίνα πρέπει να καταλήγει στο σημείο όπου η εφαπτομένη αγγίζει τον κύκλο.

Εφαπτομένη vs. Τέμνουσα

Μια εφαπτομένη συναντά τον κύκλο μία φορά. Μια τέμνουσα διαπερνά τον κύκλο και τον συναντά σε δύο σημεία.

Αυτή η διαφορά φαίνεται μικρή σε ένα σχήμα, αλλά είναι σημαντική σε μια απόδειξη. Τα θεωρήματα της εφαπτομένης δεν εφαρμόζονται αυτόματα σε τέμνουσες ή χορδές.

Ίσες εφαπτομένες από το ίδιο εξωτερικό σημείο

Αν από το ίδιο εξωτερικό σημείο $P$ φέρουμε δύο εφαπτομένες σε έναν κύκλο, και αυτές αγγίζουν τον κύκλο στα σημεία $A$ και $B$, τότε τα μήκη τους είναι ίσα:

$$PA = PB$$

Αυτό είναι χρήσιμο όταν είναι γνωστό το μήκος της μίας εφαπτομένης και λείπει το άλλο. Η συνθήκη είναι σημαντική: και οι δύο εφαπτομένες πρέπει να προέρχονται από το ίδιο εξωτερικό σημείο.

Λυμένο παράδειγμα: Βρες το μήκος μιας εφαπτομένης

Έστω ότι ένας κύκλος έχει κέντρο $O$. Από ένα εξωτερικό σημείο $P$, μια εφαπτομένη αγγίζει τον κύκλο στο σημείο $T$. Έστω

$$OT = 5$$

και

$$OP = 13.$$

Να βρεθεί το μήκος της εφαπτομένης $PT$.

Επειδή το $OT$ είναι ακτίνα προς το σημείο επαφής, είναι κάθετο στην εφαπτομένη. Άρα το τρίγωνο $OPT$ είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία στο $T$.

Χρησιμοποίησε το Πυθαγόρειο θεώρημα:

$$OP^2 = OT^2 + PT^2$$

Αντικατάστησε τις τιμές:

$$13^2 = 5^2 + PT^2$$ $$169 = 25 + PT^2$$ $$PT^2 = 144$$ $$PT = 12$$

Άρα το εφαπτόμενο τμήμα έχει μήκος $12$.

Αυτό είναι το τυπικό μοτίβο για το μήκος εφαπτομένης: βρες το σημείο επαφής, σημείωσε την ορθή γωνία και μετά λύσε το ορθογώνιο τρίγωνο.

Συνηθισμένα λάθη σε προβλήματα με εφαπτομένες

Το κάθετο δεν σημαίνει πάντα εφαπτομένη

Μια ευθεία κάθετη σε μια ακτίνα είναι εφαπτομένη μόνο όταν περνά από το άκρο της ακτίνας πάνω στον κύκλο. Το να είναι κάθετη κάπου αλλού δεν αρκεί.

Μια τέμνουσα δεν είναι εφαπτομένη

Αν μια ευθεία κόβει τον κύκλο σε δύο σημεία, είναι τέμνουσα και όχι εφαπτομένη. Αν χρησιμοποιήσεις εκεί κανόνες εφαπτομένης, θα πάρεις λάθος αποτέλεσμα.

Οι ίσες εφαπτομένες χρειάζονται το ίδιο εξωτερικό σημείο

Ο κανόνας $PA = PB$ ισχύει μόνο όταν και τα δύο εφαπτόμενα τμήματα προέρχονται από το ίδιο εξωτερικό σημείο προς τον ίδιο κύκλο.

Η ορθή γωνία έχει συγκεκριμένη θέση

Η ορθή γωνία βρίσκεται ανάμεσα στην εφαπτομένη και την ακτίνα προς το σημείο επαφής. Δεν βρίσκεται αυτόματα ανάμεσα στην εφαπτομένη και σε κάθε τμήμα από το κέντρο ή το εξωτερικό σημείο.

Πότε χρησιμοποιούνται οι εφαπτομένες σε κύκλους

Οι εφαπτομένες σε κύκλους εμφανίζονται στη σχολική γεωμετρία, στην αναλυτική γεωμετρία και σε αποδείξεις με σχήματα για γωνίες και μήκη. Οδηγούν επίσης σε σχετικές ιδέες, όπως οι γωνίες εφαπτομένης-χορδής, οι κατασκευές κύκλων και τα προβλήματα δύναμης σημείου.

Γρήγορος έλεγχος πριν λύσεις

Όταν βλέπεις μια εφαπτομένη, ρώτησε:

1. Πού είναι το σημείο επαφής;
2. Ποια ακτίνα πηγαίνει σε αυτό το σημείο;
3. Δημιουργείται έτσι ένα ορθογώνιο τρίγωνο ή μια διάταξη ίσων εφαπτομένων;

Αυτοί οι τρεις έλεγχοι εντοπίζουν τα περισσότερα λάθη στη διατύπωση πριν αρχίσεις τους υπολογισμούς.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με την ίδια διάταξη αλλά με διαφορετικούς αριθμούς, όπως $OT = 7$ και $OP = 25$. Λύσε ως προς $PT$ και μετά έλεγξε αν η απάντησή σου έχει γεωμετρικό νόημα. Αν θέλεις αμέσως άλλη μία περίπτωση, εξερεύνησε ένα παρόμοιο πρόβλημα γεωμετρίας κύκλου στο GPAI Solver.