Κυκλικός τομέας & μήκος τόξου — Τύποι και παραδείγματα

Ο κυκλικός τομέας είναι η περιοχή ανάμεσα σε δύο ακτίνες και το τόξο που τις ενώνει. Το μήκος τόξου είναι το μήκος αυτής της καμπύλης πλευράς, ενώ το εμβαδό κυκλικού τομέα είναι το εμβαδό αυτού του τμήματος.

Αν ένας κύκλος έχει ακτίνα $r$ και κεντρική γωνία $\theta$, έλεγξε πρώτα τη μονάδα της γωνίας. Αν το $\theta$ είναι σε ακτίνια, χρησιμοποίησε

$$s = r\theta$$

και

$$A = \frac{1}{2}r^2\theta$$

Αν το $\theta$ είναι σε μοίρες, χρησιμοποίησε

$$s = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$$

και

$$A = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2$$

Αυτή η προϋπόθεση είναι σημαντική. Οι τύποι με ακτίνια ισχύουν μόνο όταν η γωνία μετριέται σε ακτίνια.

Γιατί ισχύουν οι τύποι

Και οι δύο τύποι προκύπτουν αν πάρεις ένα κλάσμα ολόκληρου του κύκλου.

Ένας πλήρης κύκλος έχει περίμετρο $2\pi r$ και εμβαδό $\pi r^2$. Ένας κυκλικός τομέας παίρνει μόνο το κλάσμα που καθορίζεται από την κεντρική γωνία. Για παράδειγμα, οι $90^\circ$ είναι το ένα τέταρτο μιας πλήρους περιστροφής, άρα ο τομέας έχει το ένα τέταρτο της περιφέρειας του κύκλου και το ένα τέταρτο του εμβαδού του.

Στα ακτίνια, η ίδια ιδέα γίνεται πιο καθαρή, επειδή ένας πλήρης κύκλος είναι $2\pi$ ακτίνια. Αν η γωνία είναι $\pi/3$, τότε ο τομέας είναι $\frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6}$ του κύκλου.

Γι’ αυτό και τα δύο μεγέθη αυξάνονται με προβλέψιμο τρόπο: μεγαλύτερη ακτίνα τα κάνει και τα δύο μεγαλύτερα, και μεγαλύτερη κεντρική γωνία επίσης τα κάνει και τα δύο μεγαλύτερα.

Λυμένο παράδειγμα: ακτίνα $12$ cm, γωνία $60^\circ$

Έστω ότι ένας κυκλικός τομέας έχει ακτίνα $12$ cm και κεντρική γωνία $60^\circ$.

Επειδή η γωνία είναι σε μοίρες, χρησιμοποιούμε τους τύπους για μοίρες.

Για το μήκος τόξου,

$$s = \frac{60}{360} \cdot 2\pi(12)$$ $$s = \frac{1}{6} \cdot 24\pi = 4\pi$$

Άρα το μήκος τόξου είναι $4\pi$ cm.

Για το εμβαδό του κυκλικού τομέα,

$$A = \frac{60}{360} \cdot \pi(12)^2$$ $$A = \frac{1}{6} \cdot 144\pi = 24\pi$$

Άρα το εμβαδό του κυκλικού τομέα είναι $24\pi\ \text{cm}^2$.

Υπάρχει εδώ ένας χρήσιμος έλεγχος. Για τον ίδιο κυκλικό τομέα,

$$A = \frac{1}{2}rs$$

Χρησιμοποιώντας $r = 12$ και $s = 4\pi$,

$$A = \frac{1}{2}(12)(4\pi) = 24\pi$$

Το αποτέλεσμα ταιριάζει, άρα η διαδικασία είναι συνεπής.

Συνηθισμένα λάθη με το εμβαδό κυκλικού τομέα και το μήκος τόξου

1. Χρήση του $s = r\theta$ ενώ το $\theta$ είναι ακόμη σε μοίρες.
2. Χρήση της διαμέτρου εκεί όπου οι τύποι χρειάζονται την ακτίνα.
3. Σύγχυση ανάμεσα στο μήκος τόξου και το μήκος χορδής. Το μήκος τόξου ακολουθεί την καμπύλη· η χορδή είναι ευθύγραμμο τμήμα.
4. Παράλειψη του ότι το εμβαδό κυκλικού τομέα πρέπει να γράφεται σε τετραγωνικές μονάδες.
5. Στρογγυλοποίηση πολύ νωρίς, ενώ η άσκηση ζητά ακριβή απάντηση ως προς το $\pi$.

Πού χρησιμοποιούνται το εμβαδό κυκλικού τομέα και το μήκος τόξου

Αυτοί οι τύποι εμφανίζονται στη γεωμετρία και την τριγωνομετρία κάθε φορά που δουλεύεις με μέρος ενός κύκλου και όχι με ολόκληρο τον κύκλο. Συνηθισμένα παραδείγματα είναι οι τροχοί, τα γρανάζια, οι κυκλικές διαδρομές, τα τμήματα σε κυκλικά διαγράμματα και τα μηχανολογικά σχέδια.

Είναι επίσης σημαντικοί αργότερα στη φυσική και στον λογισμό, επειδή τα ακτίνια κάνουν τους τύπους περιστροφής πιο απλούς και πιο συνεπείς.

Γρήγορος τρόπος να διαλέξεις τον σωστό τύπο

Κάνε πρώτα δύο ερωτήσεις:

1. Χρειάζομαι την καμπύλη απόσταση ή το εσωτερικό εμβαδό;
2. Η γωνία είναι σε μοίρες ή σε ακτίνια;

Αν απαντήσεις σωστά σε αυτά, ο σωστός τύπος είναι συνήθως προφανής.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με ακτίνα $9$ m και κεντρική γωνία $120^\circ$. Βρες πρώτα το μήκος τόξου, μετά το εμβαδό του κυκλικού τομέα, και έλεγξε αν το $A = \frac{1}{2}rs$ δίνει το ίδιο εμβαδό. Αυτό είναι ένα καλό επόμενο βήμα αν θέλεις να ελέγξεις αν οι τύποι και οι μονάδες βγάζουν νόημα.