Eigenschaften des gleichschenkligen Dreiecks

Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten. Die wichtigste Eigenschaft ist einfach: Die Winkel gegenüber diesen gleich langen Seiten sind gleich, also sind die beiden Basiswinkel gleich groß. Zeichnest du zusätzlich die Höhe vom oberen Scheitelpunkt auf die Basis, wird das Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke geteilt, was viele Geometrieaufgaben einfacher macht.

Welche Eigenschaften ein gleichschenkliges Dreieck hat

Angenommen, das Dreieck $ABC$ hat $AB = AC$. Dann ist die Seite $BC$ die Basis, und die Basiswinkel bei $B$ und $C$ sind gleich.

Eine zweite nützliche Tatsache hängt von einer bestimmten Strecke ab. Wenn du von $A$ eine Senkrechte auf die Basis $BC$ zeichnest, dann ist diese Strecke:

1. eine Höhe, weil sie die Basis bei $90^\circ$ trifft.
2. eine Seitenhalbierende zur Basis, weil sie $BC$ in zwei gleich große Teile teilt.
3. eine Winkelhalbierende des Scheitelwinkels bei $A$.

Diese zusätzlichen Eigenschaften folgen aus der Symmetrie. Sie gelten nicht für jede Höhe in jedem Dreieck.

Warum die Höhe so hilfreich ist

Die Höhe verwandelt ein gleichschenkliges Dreieck in zwei passende rechtwinklige Dreiecke. Das bedeutet, dass du Methoden für rechtwinklige Dreiecke nutzen kannst, besonders den Satz des Pythagoras, statt das ganze Dreieck auf einmal zu betrachten.

Das funktioniert nur, wenn die Höhe vom Scheitelpunkt zwischen den gleich langen Seiten auf die Basis gezeichnet wird. Zeichnest du eine andere Strecke, solltest du nicht annehmen, dass sie alle drei Rollen von oben erfüllt.

Beispielaufgabe: Höhe und Fläche bestimmen

Angenommen, ein gleichschenkliges Dreieck hat die Seitenlängen $5$, $5$ und $6$.

Die gleich langen Seiten sind $5$ und $5$, also ist die Basis $6$. Zeichne die Höhe vom Scheitelpunkt auf die Basis. In einem gleichschenkligen Dreieck halbiert diese Höhe die Basis, also ist jede Hälfte $3$.

Betrachte jetzt eines der rechtwinkligen Dreiecke. Sei die Höhe $h$. Dann gilt:

$$h^2 + 3^2 = 5^2$$ $$h^2 + 9 = 25$$ $$h^2 = 16$$ $$h = 4$$

Die Höhe ist also $4$. Jetzt verwendest du die Flächenformel für Dreiecke:

$$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(6)(4) = 12$$

Die Fläche beträgt $12$ Flächeneinheiten.

Eine wichtige Umkehrung

Auch die umgekehrte Aussage ist wichtig. Wenn in einem Dreieck zwei Winkel gleich sind, dann sind die Seiten gegenüber diesen Winkeln gleich lang, also ist das Dreieck gleichschenklig.

Diese Umkehrung taucht oft in Beweisen auf. Manchmal gibt eine Aufgabe zuerst Informationen über Winkel und erwartet dann, dass du daraus schließt, dass zwei Seiten gleich lang sein müssen.

Häufige Fehler bei gleichschenkligen Dreiecken

1. Anzunehmen, dass jede Höhe in jedem Dreieck die gegenüberliegende Seite halbiert.
2. Zu verwechseln, welche Winkel gleich sind. Die gleichen Winkel liegen den gleich langen Seiten gegenüber.
3. Die Eigenschaft der Höhe zu verwenden, ohne zu prüfen, ob das Dreieck wirklich gleichschenklig ist.
4. Zu vergessen, dass manche Lehrbücher ein gleichschenkliges Dreieck als ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten definieren, was auch ein gleichseitiges Dreieck einschließt.

Wann du diese Eigenschaften verwendest

Eigenschaften gleichschenkliger Dreiecke kommen in geometrischen Beweisen, in der analytischen Geometrie und bei Flächen- oder Höhenaufgaben vor, bei denen Symmetrie Zeit spart. Das übliche Vorgehen ist, die gleich langen Seiten zu erkennen, die Basiswinkel gleichzusetzen und dann die Höhe zu zeichnen, wenn du eine übersichtlichere Konstruktion brauchst.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche deine eigene Variante mit den Seitenlängen $13$, $13$ und $10$. Zeichne die Höhe, bestimme die Höhe und berechne dann die Fläche. Wenn du als Nächstes etwas Ähnliches üben möchtest, schau dir den Satz des Pythagoras oder die Dreiecksfläche an und vergleiche, wie dieselbe Idee mit rechtwinkligen Dreiecken dort auftaucht.