斯涅尔定律——折射公式与临界角

斯涅尔定律是描述光线从一种介质进入另一种介质时发生折射的公式。如果你知道两个折射率和其中一个角度，它就能告诉你另一个角度。

$$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$

这里的 $n_1$ 和 $n_2$ 是折射率，$\theta_1$ 和 $\theta_2$ 都是从法线开始测量的，不是从界面开始测量。若光进入折射率更高的介质，它会向法线偏折；若进入折射率更低的介质，它会背离法线偏折。

同样的思想也能解释临界角。如果光从折射率较高的介质出发，就存在一个仍然能够产生折射的最大入射角。超过这个角度后，发生的将是全反射，而不是折射。

斯涅尔定律公式与角度的含义

在几何光学中，当一束光到达分界面并进入第二种介质时，就会用到斯涅尔定律。通俗地说，光线会改变方向，是因为光在不同介质中的传播速度不同。

顺序很重要。$n_1$ 和 $\theta_1$ 对应起始介质，而 $n_2$ 和 $\theta_2$ 对应第二种介质。把它们对调，就改变了实际的物理情形。

如何判断光线向哪边偏折

很多时候，不用代数计算也能先判断方向。

• 如果 $n_2 > n_1$，那么 $\theta_2 < \theta_1$，所以光线向法线偏折。
• 如果 $n_2 < n_1$，那么 $\theta_2 > \theta_1$，所以只要仍然发生折射，光线就会背离法线偏折。

这个快速检查能在你相信数值答案之前，先发现很多设定错误。

临界角：折射何时停止

只有当光从折射率较高的介质进入折射率较低的介质时，才存在临界角。在这个角度下，折射光线将沿着分界面传播，因此 $\theta_2 = 90^\circ$。

把这个条件代入斯涅尔定律可得

$$n_1 \sin \theta_c = n_2$$

所以

$$\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1}$$

这个公式只在 $n_1 > n_2$ 时成立。如果 $n_1 \le n_2$，沿这个传播方向就不存在临界角，因此也不会发生全反射。

例题：从水到空气

假设光从水进入空气，且有

$$n_1 = 1.33, \qquad n_2 = 1.00, \qquad \theta_1 = 40^\circ$$

先使用斯涅尔定律：

$$1.33 \sin 40^\circ = 1.00 \sin \theta_2$$

利用 $\sin 40^\circ \approx 0.643$，

$$\sin \theta_2 \approx 1.33 \times 0.643 \approx 0.855$$ $$\theta_2 \approx \sin^{-1}(0.855) \approx 58.8^\circ$$

所以折射角约为 $58.8^\circ$。它比入射角更大，这是合理的，因为光是从较高折射率介质进入较低折射率介质，因此会背离法线偏折。

现在求同一对介质的临界角：

$$\sin \theta_c = \frac{1.00}{1.33} \approx 0.752$$ $$\theta_c \approx \sin^{-1}(0.752) \approx 48.8^\circ$$

由于 $40^\circ < 48.8^\circ$，所以光线会折射进入空气。如果入射角大于约 $48.8^\circ$，这个水到空气的情形就会发生全反射。

斯涅尔定律题目中的常见错误

• 从界面而不是从法线测量角度。
• 图已经设定好之后，又把 $n_1$ 和 $n_2$ 颠倒。
• 误以为光总是向法线偏折。
• 在光进入高折射率介质而不是离开它时，错误使用临界角公式。
• 当正弦值大于 $1$ 时，仍把它当作正常折射结果，而没有意识到此时应发生全反射。

斯涅尔定律的应用场景

斯涅尔定律常见于基础光学问题中，例如水面、玻璃块、棱镜、透镜和光纤。它也解释了为什么吸管放在水里看起来像是弯折的，以及为什么光纤能够困住光。

对于大多数入门物理题，只要光线穿过两种介质的分界面，这条定律通常就是首先要用的工具。

试着做一道类似题

设光从玻璃中出发，$n_1 = 1.50$，进入空气，$n_2 = 1.00$。先求临界角，再判断入射角为 $35^\circ$ 时会发生折射还是全反射。