กฎของสเนลล์ — สูตรการหักเหของแสงและมุมวิกฤต

กฎของสเนลล์คือสูตรการหักเหของแสงสำหรับลำแสงที่เคลื่อนจากตัวกลางหนึ่งไปสู่อีกตัวกลางหนึ่ง ถ้าคุณรู้ดัชนีหักเหของทั้งสองตัวกลางและรู้มุมหนึ่งมุม สูตรนี้จะช่วยหามุมอีกมุมได้

$$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$

ในที่นี้ $n_1$ และ $n_2$ คือดัชนีหักเห ส่วน $\theta_1$ และ $\theta_2$ วัดจากเส้นปกติ ไม่ใช่วัดจากผิว ถ้าแสงเข้าสู่ตัวกลางที่มีดัชนีหักเหสูงกว่า แสงจะเบนเข้าหาเส้นปกติ ถ้าเข้าสู่ตัวกลางที่มีดัชนีหักเหต่ำกว่า แสงจะเบนออกจากเส้นปกติ

แนวคิดเดียวกันนี้ยังใช้อธิบายมุมวิกฤตได้ด้วย ถ้าแสงเริ่มต้นในตัวกลางที่มีดัชนีหักเหสูงกว่า จะมีมุมตกกระทบมากที่สุดค่าหนึ่งที่ยังทำให้เกิดการหักเหได้ ถ้ามากกว่ามุมนั้น จะเกิดการสะท้อนกลับหมดแทน

สูตรกฎของสเนลล์และความหมายของมุม

กฎของสเนลล์ใช้ในทัศนศาสตร์เชิงรังสี เมื่อลำแสงไปถึงรอยต่อและเข้าสู่ตัวกลางที่สอง พูดง่าย ๆ คือ ลำแสงเปลี่ยนทิศทางเพราะแสงเดินทางด้วยความเร็วต่างกันในตัวกลางต่างชนิดกัน

ลำดับมีความสำคัญ $n_1$ และ $\theta_1$ เป็นของตัวกลางเริ่มต้น ส่วน $n_2$ และ $\theta_2$ เป็นของตัวกลางที่สอง ถ้าสลับกัน สถานการณ์ทางกายภาพก็จะเปลี่ยนไป

ดูอย่างไรว่าแสงจะเบนไปทางไหน

บ่อยครั้งคุณคาดเดาทิศทางได้ก่อนจะคำนวณจริง

• ถ้า $n_2 > n_1$ จะได้ว่า $\theta_2 < \theta_1$ ดังนั้นลำแสงจะเบนเข้าหาเส้นปกติ
• ถ้า $n_2 < n_1$ จะได้ว่า $\theta_2 > \theta_1$ ดังนั้นลำแสงจะเบนออกจากเส้นปกติ ตราบใดที่ยังเกิดการหักเหอยู่

การตรวจสอบแบบเร็ว ๆ นี้ช่วยจับข้อผิดพลาดในการตั้งโจทย์ได้มาก ก่อนที่คุณจะเชื่อคำตอบเชิงตัวเลข

มุมวิกฤต: เมื่อการหักเหหยุดเกิด

มุมวิกฤตจะมีได้เฉพาะเมื่อแสงเดินทางจากตัวกลางที่มีดัชนีหักเหสูงกว่าไปยังตัวกลางที่มีดัชนีหักเหต่ำกว่า ที่มุมนั้น ลำแสงหักเหจะเคลื่อนที่ไปตามแนวรอยต่อพอดี ดังนั้น $\theta_2 = 90^\circ$

แทนค่านี้ลงในกฎของสเนลล์ จะได้

$$n_1 \sin \theta_c = n_2$$

ดังนั้น

$$\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1}$$

สูตรนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ $n_1 > n_2$ เท่านั้น ถ้า $n_1 \le n_2$ จะไม่มีมุมวิกฤตสำหรับทิศทางการเคลื่อนที่นั้น ดังนั้นกรณีนั้นจะไม่เกิดการสะท้อนกลับหมด

ตัวอย่างทำโจทย์: จากน้ำสู่อากาศ

สมมติว่าแสงเดินทางจากน้ำสู่อากาศ โดยมี

$$n_1 = 1.33, \qquad n_2 = 1.00, \qquad \theta_1 = 40^\circ$$

เริ่มจากใช้กฎของสเนลล์:

$$1.33 \sin 40^\circ = 1.00 \sin \theta_2$$

เมื่อใช้ $\sin 40^\circ \approx 0.643$ จะได้ว่า

$$\sin \theta_2 \approx 1.33 \times 0.643 \approx 0.855$$ $$\theta_2 \approx \sin^{-1}(0.855) \approx 58.8^\circ$$

ดังนั้นมุมหักเหมีค่าประมาณ $58.8^\circ$ ซึ่งมากกว่ามุมตกกระทบ และก็สมเหตุสมผล เพราะแสงกำลังเคลื่อนจากตัวกลางที่มีดัชนีหักเหสูงกว่าไปยังตัวกลางที่มีดัชนีหักเหต่ำกว่า จึงเบนออกจากเส้นปกติ

ต่อไปหามุมวิกฤตสำหรับตัวกลางคู่นี้:

$$\sin \theta_c = \frac{1.00}{1.33} \approx 0.752$$ $$\theta_c \approx \sin^{-1}(0.752) \approx 48.8^\circ$$

เนื่องจาก $40^\circ < 48.8^\circ$ ลำแสงจึงหักเหออกสู่อากาศได้ ถ้ามุมตกกระทบมากกว่าประมาณ $48.8^\circ$ การจัดแบบน้ำสู่อากาศนี้จะเกิดการสะท้อนกลับหมดแทน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในโจทย์กฎของสเนลล์

• วัดมุมจากผิวแทนที่จะวัดจากเส้นปกติ
• สลับ $n_1$ และ $n_2$ หลังจากกำหนดแผนภาพไปแล้ว
• คิดว่าแสงจะเบนเข้าหาเส้นปกติเสมอ
• ใช้สูตรมุมวิกฤตตอนที่แสงกำลังเข้าสู่ตัวกลางที่มีดัชนีหักเหสูงกว่า แทนที่จะกำลังออกจากมัน
• ยอมรับค่า sine ที่มากกว่า $1$ ว่าเป็นผลการหักเหปกติ แทนที่จะสังเกตว่าควรเกิดการสะท้อนกลับหมด

กฎของสเนลล์ใช้ที่ไหนบ้าง

กฎของสเนลล์พบได้ในโจทย์ทัศนศาสตร์พื้นฐานที่เกี่ยวกับผิวน้ำ แท่งแก้ว ปริซึม เลนส์ และใยแก้วนำแสง นอกจากนี้ยังอธิบายได้ว่าทำไมหลอดดูเหมือนหักงอเมื่ออยู่ในน้ำ และทำไมใยแก้วนำแสงจึงกักแสงไว้ได้

สำหรับคำถามฟิสิกส์ระดับเบื้องต้นส่วนใหญ่ กฎนี้เป็นเครื่องมือแรกที่ควรใช้ทุกครั้งที่ลำแสงผ่านรอยต่อระหว่างตัวกลางสองชนิด

ลองทำโจทย์คล้ายกัน

ให้แสงเริ่มต้นในแก้วที่มี $n_1 = 1.50$ และเข้าสู่อากาศที่มี $n_2 = 1.00$ จงหามุมวิกฤตก่อน แล้วตัดสินว่ามุมตกกระทบ $35^\circ$ จะทำให้เกิดการหักเหหรือการสะท้อนกลับหมด