Prawo Snelliusa — wzór na załamanie i kąt graniczny

Prawo Snelliusa to wzór opisujący załamanie światła, gdy promień przechodzi z jednego ośrodka do drugiego. Jeśli znasz dwa współczynniki załamania i jeden kąt, możesz wyznaczyć drugi kąt.

$$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$

Tutaj $n_1$ i $n_2$ to współczynniki załamania, a $\theta_1$ i $\theta_2$ mierzy się od normalnej, a nie od powierzchni. Jeśli światło wchodzi do ośrodka o większym współczynniku załamania, ugina się ku normalnej. Jeśli wchodzi do ośrodka o mniejszym współczynniku, ugina się od normalnej.

Ta sama idea wyjaśnia też kąt graniczny. Jeśli światło zaczyna bieg w ośrodku o większym współczynniku załamania, istnieje największy kąt padania, przy którym jeszcze zachodzi załamanie. Powyżej tego kąta zamiast załamania występuje całkowite wewnętrzne odbicie.

Wzór prawa Snelliusa i znaczenie kątów

Prawo Snelliusa stosuje się w optyce geometrycznej, gdy promień światła dociera do granicy ośrodków i wchodzi do drugiego ośrodka. Mówiąc prosto, promień zmienia kierunek, ponieważ światło porusza się z różnymi prędkościami w różnych ośrodkach.

Kolejność ma znaczenie. $n_1$ i $\theta_1$ odnoszą się do ośrodka początkowego, a $n_2$ i $\theta_2$ do drugiego ośrodka. Zamiana ich miejsc zmienia sytuację fizyczną.

Jak rozpoznać, w którą stronę ugina się promień

Często możesz przewidzieć kierunek jeszcze przed wykonaniem obliczeń.

• Jeśli $n_2 > n_1$, to $\theta_2 < \theta_1$, więc promień ugina się ku normalnej.
• Jeśli $n_2 < n_1$, to $\theta_2 > \theta_1$, więc promień ugina się od normalnej, o ile nadal zachodzi załamanie.

Taka szybka kontrola pozwala wychwycić wiele błędów w ustawieniu zadania, zanim zaufasz wynikowi liczbowemu.

Kąt graniczny: kiedy załamanie przestaje zachodzić

Kąt graniczny istnieje tylko wtedy, gdy światło przechodzi z ośrodka o większym współczynniku załamania do ośrodka o mniejszym współczynniku. Przy tym kącie promień załamany biegłby wzdłuż granicy ośrodków, więc $\theta_2 = 90^\circ$.

Po podstawieniu do prawa Snelliusa otrzymujemy

$$n_1 \sin \theta_c = n_2$$

czyli

$$\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1}$$

Ten wzór działa tylko wtedy, gdy $n_1 > n_2$. Jeśli $n_1 \le n_2$, to dla tego kierunku ruchu nie ma kąta granicznego, więc całkowite wewnętrzne odbicie nie może w takim przypadku wystąpić.

Przykład obliczeniowy: woda do powietrza

Załóżmy, że światło przechodzi z wody do powietrza, gdzie

$$n_1 = 1.33, \qquad n_2 = 1.00, \qquad \theta_1 = 40^\circ$$

Najpierw użyj prawa Snelliusa:

$$1.33 \sin 40^\circ = 1.00 \sin \theta_2$$

Korzystając z przybliżenia $\sin 40^\circ \approx 0.643$,

$$\sin \theta_2 \approx 1.33 \times 0.643 \approx 0.855$$ $$\theta_2 \approx \sin^{-1}(0.855) \approx 58.8^\circ$$

Zatem kąt załamania wynosi około $58.8^\circ$. Jest większy od kąta padania, co ma sens, ponieważ światło przechodzi z ośrodka o większym współczynniku załamania do ośrodka o mniejszym i ugina się od normalnej.

Teraz wyznaczmy kąt graniczny dla tej samej pary ośrodków:

$$\sin \theta_c = \frac{1.00}{1.33} \approx 0.752$$ $$\theta_c \approx \sin^{-1}(0.752) \approx 48.8^\circ$$

Ponieważ $40^\circ < 48.8^\circ$, promień załamuje się i przechodzi do powietrza. Gdyby kąt padania był większy niż około $48.8^\circ$, w tym układzie woda–powietrze wystąpiłoby zamiast tego całkowite wewnętrzne odbicie.

Typowe błędy w zadaniach z prawa Snelliusa

• Mierzenie kątów od powierzchni zamiast od normalnej.
• Zamiana $n_1$ i $n_2$, gdy rysunek został już ustalony.
• Zakładanie, że światło zawsze ugina się ku normalnej.
• Używanie wzoru na kąt graniczny wtedy, gdy światło wchodzi do ośrodka o większym współczynniku załamania, zamiast go opuszczać.
• Akceptowanie wartości sinusa większej niż $1$ jako zwykłego wyniku załamania zamiast rozpoznania, że powinno zajść całkowite wewnętrzne odbicie.

Gdzie stosuje się prawo Snelliusa

Prawo Snelliusa pojawia się w podstawowych zadaniach z optyki dotyczących powierzchni wody, szklanych bloków, pryzmatów, soczewek i światłowodów. Wyjaśnia też, dlaczego słomka wygląda na zgiętą w wodzie i dlaczego światłowody mogą zatrzymywać światło.

W większości wprowadzających zadań z fizyki to pierwsze narzędzie, po które warto sięgnąć, gdy promień przechodzi przez granicę dwóch ośrodków.

Spróbuj podobnego zadania

Załóż, że światło zaczyna bieg w szkle o $n_1 = 1.50$ i przechodzi do powietrza o $n_2 = 1.00$. Najpierw wyznacz kąt graniczny, a potem zdecyduj, czy kąt padania $35^\circ$ daje załamanie, czy całkowite wewnętrzne odbicie.