Snelliussches Brechungsgesetz — Brechungsformel & Grenzwinkel

Das Snelliussche Brechungsgesetz ist die Brechungsformel für einen Lichtstrahl, der von einem Medium in ein anderes übergeht. Wenn du die beiden Brechungsindizes und einen Winkel kennst, kannst du damit den anderen Winkel bestimmen.

$$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$

Hier sind $n_1$ und $n_2$ die Brechungsindizes, und $\theta_1$ und $\theta_2$ werden vom Lot aus gemessen, nicht von der Oberfläche. Tritt Licht in ein Medium mit höherem Brechungsindex ein, wird es zum Lot hin gebrochen. Tritt es in ein Medium mit niedrigerem Brechungsindex ein, wird es vom Lot weg gebrochen.

Dieselbe Idee erklärt auch den Grenzwinkel. Wenn das Licht im Medium mit höherem Brechungsindex startet, gibt es einen größten Einfallswinkel, bei dem noch Brechung auftritt. Oberhalb dieses Winkels tritt stattdessen Totalreflexion auf.

Formel des Snelliusschen Brechungsgesetzes und Bedeutung der Winkel

Das Snelliussche Brechungsgesetz wird in der Strahlenoptik verwendet, wenn ein Lichtstrahl auf eine Grenzfläche trifft und in das zweite Medium eintritt. Einfach gesagt ändert der Strahl seine Richtung, weil sich Licht in verschiedenen Medien mit unterschiedlicher Geschwindigkeit ausbreitet.

Die Reihenfolge ist wichtig. $n_1$ und $\theta_1$ gehören zum Ausgangsmedium, während $n_2$ und $\theta_2$ zum zweiten Medium gehören. Wenn man sie vertauscht, beschreibt man eine andere physikalische Situation.

So erkennt man, in welche Richtung der Strahl gebrochen wird

Oft kann man die Richtung schon vor jeder Rechnung vorhersagen.

• Wenn $n_2 > n_1$, dann gilt $\theta_2 < \theta_1$, also wird der Strahl zum Lot hin gebrochen.
• Wenn $n_2 < n_1$, dann gilt $\theta_2 > \theta_1$, also wird der Strahl vom Lot weg gebrochen, sofern überhaupt noch Brechung auftritt.

Mit dieser schnellen Kontrolle erkennt man viele Fehler im Ansatz, bevor man einem Zahlenwert vertraut.

Grenzwinkel: wann die Brechung aufhört

Der Grenzwinkel existiert nur, wenn Licht von einem Medium mit höherem Brechungsindex in ein Medium mit niedrigerem Brechungsindex übergeht. Bei diesem Winkel würde sich der gebrochene Strahl entlang der Grenzfläche ausbreiten, also ist $\theta_2 = 90^\circ$.

Setzt man das in das Snelliussche Brechungsgesetz ein, erhält man

$$n_1 \sin \theta_c = n_2$$

also

$$\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1}$$

Diese Formel gilt nur, wenn $n_1 > n_2$. Falls $n_1 \le n_2$, gibt es in dieser Ausbreitungsrichtung keinen Grenzwinkel, daher kann in diesem Fall keine Totalreflexion auftreten.

Durchgerechnetes Beispiel: Wasser zu Luft

Angenommen, Licht geht von Wasser in Luft mit

$$n_1 = 1.33, \qquad n_2 = 1.00, \qquad \theta_1 = 40^\circ$$

Verwende zuerst das Snelliussche Brechungsgesetz:

$$1.33 \sin 40^\circ = 1.00 \sin \theta_2$$

Mit $\sin 40^\circ \approx 0.643$ ergibt sich

$$\sin \theta_2 \approx 1.33 \times 0.643 \approx 0.855$$ $$\theta_2 \approx \sin^{-1}(0.855) \approx 58.8^\circ$$

Der Brechungswinkel beträgt also etwa $58.8^\circ$. Das ist größer als der Einfallswinkel, was sinnvoll ist, weil sich das Licht von einem höheren zu einem niedrigeren Brechungsindex bewegt und daher vom Lot weg gebrochen wird.

Bestimme nun den Grenzwinkel für dasselbe Medienpaar:

$$\sin \theta_c = \frac{1.00}{1.33} \approx 0.752$$ $$\theta_c \approx \sin^{-1}(0.752) \approx 48.8^\circ$$

Da $40^\circ < 48.8^\circ$ ist, wird der Strahl in die Luft gebrochen. Wäre der Einfallswinkel größer als etwa $48.8^\circ$, würde dieser Übergang von Wasser zu Luft stattdessen Totalreflexion erzeugen.

Häufige Fehler bei Aufgaben zum Snelliusschen Brechungsgesetz

• Winkel von der Oberfläche statt vom Lot aus messen.
• $n_1$ und $n_2$ vertauschen, nachdem die Skizze schon festgelegt wurde.
• Annehmen, dass Licht immer zum Lot hin gebrochen wird.
• Die Formel für den Grenzwinkel verwenden, obwohl das Licht in das Medium mit höherem Brechungsindex eintritt, statt es zu verlassen.
• Einen Sinuswert größer als $1$ als normales Brechungsergebnis akzeptieren, statt zu erkennen, dass Totalreflexion auftreten müsste.

Wo das Snelliussche Brechungsgesetz verwendet wird

Das Snelliussche Brechungsgesetz kommt in grundlegenden Optikaufgaben mit Wasseroberflächen, Glasblöcken, Prismen, Linsen und Glasfasern vor. Es erklärt auch, warum ein Strohhalm im Wasser geknickt aussieht und warum Glasfasern Licht einschließen können.

In den meisten einführenden Physikaufgaben ist dieses Gesetz das erste Werkzeug, das man verwendet, wenn ein Strahl eine Grenzfläche zwischen zwei Medien überquert.

Versuche eine ähnliche Aufgabe

Lass Licht in Glas mit $n_1 = 1.50$ starten und in Luft mit $n_2 = 1.00$ eintreten. Bestimme zuerst den Grenzwinkel und entscheide dann, ob ein Einfallswinkel von $35^\circ$ zu Brechung oder zu Totalreflexion führt.