Legge di Snell — Formula della rifrazione e angolo critico

La legge di Snell è la formula della rifrazione per un raggio di luce che passa da un mezzo a un altro. Se conosci i due indici di rifrazione e un angolo, puoi ricavare l'altro angolo.

$$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$

Qui $n_1$ e $n_2$ sono gli indici di rifrazione, mentre $\theta_1$ e $\theta_2$ si misurano rispetto alla normale, non rispetto alla superficie. Se la luce entra in un mezzo con indice maggiore, si piega verso la normale. Se entra in un mezzo con indice minore, si piega allontanandosi dalla normale.

La stessa idea spiega anche l'angolo critico. Se la luce parte dal mezzo con indice maggiore, esiste un angolo di incidenza massimo che produce ancora rifrazione. Al di sopra di quell'angolo, si verifica invece la riflessione totale interna.

Formula della legge di Snell e significato degli angoli

La legge di Snell si usa nell'ottica geometrica quando un raggio di luce raggiunge una superficie di separazione ed entra nel secondo mezzo. In parole semplici, il raggio cambia direzione perché la luce viaggia a velocità diverse in mezzi diversi.

L'ordine conta. $n_1$ e $\theta_1$ appartengono al mezzo iniziale, mentre $n_2$ e $\theta_2$ appartengono al secondo mezzo. Scambiarli cambia la situazione fisica.

Come capire in che direzione si piega il raggio

Spesso puoi prevedere la direzione ancora prima di fare i calcoli.

• Se $n_2 > n_1$, allora $\theta_2 < \theta_1$, quindi il raggio si piega verso la normale.
• Se $n_2 < n_1$, allora $\theta_2 > \theta_1$, quindi il raggio si piega allontanandosi dalla normale, purché avvenga ancora la rifrazione.

Questo controllo rapido permette di individuare molti errori di impostazione prima di fidarti di una risposta numerica.

Angolo critico: quando la rifrazione si ferma

L'angolo critico esiste solo quando la luce passa da un mezzo con indice maggiore a un mezzo con indice minore. A quell'angolo, il raggio rifratto viaggerebbe lungo la superficie di separazione, quindi $\theta_2 = 90^\circ$.

Sostituendo questo nella legge di Snell si ottiene

$$n_1 \sin \theta_c = n_2$$

quindi

$$\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1}$$

Questa formula vale solo se $n_1 > n_2$. Se $n_1 \le n_2$, non esiste un angolo critico per quella direzione di propagazione, quindi in quel caso non può verificarsi la riflessione totale interna.

Esempio svolto: dall'acqua all'aria

Supponiamo che la luce passi dall'acqua all'aria con

$$n_1 = 1.33, \qquad n_2 = 1.00, \qquad \theta_1 = 40^\circ$$

Per prima cosa usiamo la legge di Snell:

$$1.33 \sin 40^\circ = 1.00 \sin \theta_2$$

Usando $\sin 40^\circ \approx 0.643$,

$$\sin \theta_2 \approx 1.33 \times 0.643 \approx 0.855$$ $$\theta_2 \approx \sin^{-1}(0.855) \approx 58.8^\circ$$

Quindi l'angolo di rifrazione è circa $58.8^\circ$. È maggiore dell'angolo di incidenza, il che ha senso perché la luce sta passando da un indice maggiore a uno minore e si piega allontanandosi dalla normale.

Ora troviamo l'angolo critico per la stessa coppia di mezzi:

$$\sin \theta_c = \frac{1.00}{1.33} \approx 0.752$$ $$\theta_c \approx \sin^{-1}(0.752) \approx 48.8^\circ$$

Poiché $40^\circ < 48.8^\circ$, il raggio si rifrange nell'aria. Se l'angolo di incidenza fosse maggiore di circa $48.8^\circ$, questa configurazione acqua-aria produrrebbe invece riflessione totale interna.

Errori comuni nei problemi sulla legge di Snell

• Misurare gli angoli dalla superficie invece che dalla normale.
• Invertire $n_1$ e $n_2$ dopo aver già impostato il diagramma.
• Supporre che la luce si pieghi sempre verso la normale.
• Usare la formula dell'angolo critico quando la luce entra nel mezzo con indice maggiore invece di uscirne.
• Accettare un valore del seno maggiore di $1$ come risultato normale di rifrazione invece di riconoscere che dovrebbe verificarsi riflessione totale interna.

Dove si usa la legge di Snell

La legge di Snell compare nei problemi base di ottica che coinvolgono superfici d'acqua, blocchi di vetro, prismi, lenti e fibre ottiche. Spiega anche perché una cannuccia sembra piegata nell'acqua e perché le fibre ottiche possono intrappolare la luce.

Nella maggior parte delle domande introduttive di fisica, questa legge è il primo strumento da usare ogni volta che un raggio attraversa la superficie di separazione tra due mezzi.

Prova un problema simile

Supponi che la luce parta dal vetro con $n_1 = 1.50$ ed entri nell'aria con $n_2 = 1.00$. Trova prima l'angolo critico, poi stabilisci se un angolo di incidenza di $35^\circ$ produce rifrazione oppure riflessione totale interna.