Νόμος του Snell — Τύπος Διάθλασης & Κρίσιμη Γωνία

Ο νόμος του Snell είναι ο τύπος της διάθλασης για μια φωτεινή ακτίνα που περνά από ένα μέσο σε ένα άλλο. Αν γνωρίζεις τους δύο δείκτες διάθλασης και μία γωνία, μπορείς να βρεις την άλλη γωνία.

$$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$

Εδώ τα $n_1$ και $n_2$ είναι οι δείκτες διάθλασης, και οι $\theta_1$ και $\theta_2$ μετρώνται από την κάθετη, όχι από την επιφάνεια. Αν το φως εισέρχεται σε μέσο με μεγαλύτερο δείκτη, κάμπτεται προς την κάθετη. Αν εισέρχεται σε μέσο με μικρότερο δείκτη, κάμπτεται μακριά από την κάθετη.

Η ίδια ιδέα εξηγεί και την κρίσιμη γωνία. Αν το φως ξεκινά στο μέσο με τον μεγαλύτερο δείκτη, υπάρχει μια μέγιστη γωνία πρόσπτωσης που ακόμη δίνει διάθλαση. Πάνω από αυτή τη γωνία, συμβαίνει ολική εσωτερική ανάκλαση.

Τύπος του νόμου του Snell και τι σημαίνουν οι γωνίες

Ο νόμος του Snell χρησιμοποιείται στη γεωμετρική οπτική όταν μια φωτεινή ακτίνα φτάνει σε ένα όριο και εισέρχεται στο δεύτερο μέσο. Με απλά λόγια, η ακτίνα αλλάζει κατεύθυνση επειδή το φως ταξιδεύει με διαφορετικές ταχύτητες σε διαφορετικά μέσα.

Η σειρά έχει σημασία. Τα $n_1$ και $\theta_1$ ανήκουν στο αρχικό μέσο, ενώ τα $n_2$ και $\theta_2$ ανήκουν στο δεύτερο μέσο. Αν τα ανταλλάξεις, αλλάζει η φυσική κατάσταση.

Πώς να καταλάβεις προς ποια κατεύθυνση κάμπτεται η ακτίνα

Συχνά μπορείς να προβλέψεις την κατεύθυνση πριν κάνεις οποιονδήποτε υπολογισμό.

• Αν $n_2 > n_1$, τότε $\theta_2 < \theta_1$, άρα η ακτίνα κάμπτεται προς την κάθετη.
• Αν $n_2 < n_1$, τότε $\theta_2 > \theta_1$, άρα η ακτίνα κάμπτεται μακριά από την κάθετη, εφόσον εξακολουθεί να υπάρχει διάθλαση.

Αυτός ο γρήγορος έλεγχος εντοπίζει πολλά λάθη στο στήσιμο πριν εμπιστευτείς μια αριθμητική απάντηση.

Κρίσιμη γωνία: πότε σταματά η διάθλαση

Η κρίσιμη γωνία υπάρχει μόνο όταν το φως περνά από μέσο με μεγαλύτερο δείκτη σε μέσο με μικρότερο δείκτη. Σε αυτή τη γωνία, η διαθλώμενη ακτίνα θα κινούνταν κατά μήκος του ορίου, άρα $\theta_2 = 90^\circ$.

Αντικαθιστώντας αυτό στον νόμο του Snell παίρνουμε

$$n_1 \sin \theta_c = n_2$$

οπότε

$$\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1}$$

Αυτός ο τύπος ισχύει μόνο αν $n_1 > n_2$. Αν $n_1 \le n_2$, δεν υπάρχει κρίσιμη γωνία για αυτή την κατεύθυνση διάδοσης, άρα δεν μπορεί να συμβεί ολική εσωτερική ανάκλαση σε αυτή την περίπτωση.

Λυμένο παράδειγμα: από το νερό στον αέρα

Έστω ότι το φως ταξιδεύει από το νερό στον αέρα με

$$n_1 = 1.33, \qquad n_2 = 1.00, \qquad \theta_1 = 40^\circ$$

Πρώτα εφαρμόζουμε τον νόμο του Snell:

$$1.33 \sin 40^\circ = 1.00 \sin \theta_2$$

Χρησιμοποιώντας ότι $\sin 40^\circ \approx 0.643$,

$$\sin \theta_2 \approx 1.33 \times 0.643 \approx 0.855$$ $$\theta_2 \approx \sin^{-1}(0.855) \approx 58.8^\circ$$

Άρα η γωνία διάθλασης είναι περίπου $58.8^\circ$. Είναι μεγαλύτερη από τη γωνία πρόσπτωσης, κάτι που βγάζει νόημα επειδή το φως περνά από μεγαλύτερο δείκτη σε μικρότερο δείκτη και κάμπτεται μακριά από την κάθετη.

Τώρα βρίσκουμε την κρίσιμη γωνία για το ίδιο ζεύγος μέσων:

$$\sin \theta_c = \frac{1.00}{1.33} \approx 0.752$$ $$\theta_c \approx \sin^{-1}(0.752) \approx 48.8^\circ$$

Αφού $40^\circ < 48.8^\circ$, η ακτίνα διαθλάται στον αέρα. Αν η γωνία πρόσπτωσης ήταν μεγαλύτερη από περίπου $48.8^\circ$, τότε αυτή η διάταξη νερού-αέρα θα έδινε ολική εσωτερική ανάκλαση.

Συνηθισμένα λάθη σε ασκήσεις με τον νόμο του Snell

• Μέτρηση των γωνιών από την επιφάνεια αντί από την κάθετη.
• Αντιστροφή των $n_1$ και $n_2$ ενώ το σχήμα έχει ήδη οριστεί.
• Η υπόθεση ότι το φως πάντα κάμπτεται προς την κάθετη.
• Χρήση του τύπου της κρίσιμης γωνίας όταν το φως εισέρχεται στο μέσο με μεγαλύτερο δείκτη αντί να εξέρχεται από αυτό.
• Αποδοχή μιας τιμής του ημιτόνου μεγαλύτερης από $1$ ως κανονικό αποτέλεσμα διάθλασης, αντί να αναγνωριστεί ότι πρέπει να συμβεί ολική εσωτερική ανάκλαση.

Πού χρησιμοποιείται ο νόμος του Snell

Ο νόμος του Snell εμφανίζεται σε βασικά προβλήματα οπτικής με επιφάνειες νερού, γυάλινα σώματα, πρίσματα, φακούς και οπτικές ίνες. Εξηγεί επίσης γιατί ένα καλαμάκι φαίνεται λυγισμένο μέσα στο νερό και γιατί οι οπτικές ίνες μπορούν να παγιδεύουν το φως.

Στις περισσότερες εισαγωγικές ασκήσεις φυσικής, αυτός ο νόμος είναι το πρώτο εργαλείο που χρησιμοποιείς κάθε φορά που μια ακτίνα περνά από το όριο ανάμεσα σε δύο μέσα.

Δοκίμασε μια παρόμοια άσκηση

Έστω ότι το φως ξεκινά σε γυαλί με $n_1 = 1.50$ και εισέρχεται στον αέρα με $n_2 = 1.00$. Βρες πρώτα την κρίσιμη γωνία και μετά αποφάσισε αν μια γωνία πρόσπτωσης $35^\circ$ δίνει διάθλαση ή ολική εσωτερική ανάκλαση.