스넬의 법칙 — 굴절 공식과 임계각

스넬의 법칙은 빛이 한 매질에서 다른 매질로 넘어갈 때 적용되는 굴절 공식입니다. 두 굴절률과 한 각도를 알면, 나머지 각도를 구할 수 있습니다.

$$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$

여기서 $n_1$과 $n_2$는 굴절률이고, $\theta_1$과 $\theta_2$는 표면이 아니라 법선을 기준으로 잰 각도입니다. 빛이 더 큰 굴절률의 매질로 들어가면 법선 쪽으로 굽습니다. 더 작은 굴절률의 매질로 들어가면 법선에서 멀어지게 굽습니다.

같은 개념으로 임계각도 설명할 수 있습니다. 빛이 더 큰 굴절률의 매질에서 시작하면, 아직 굴절이 일어나는 가장 큰 입사각이 존재합니다. 그 각도를 넘으면 대신 전반사가 일어납니다.

스넬의 법칙 공식과 각도의 의미

스넬의 법칙은 광선이 경계면에 도달해 두 번째 매질로 들어갈 때 기하광학에서 사용됩니다. 쉽게 말해, 매질마다 빛의 속력이 다르기 때문에 광선의 진행 방향이 바뀝니다.

순서는 중요합니다. $n_1$과 $\theta_1$은 시작 매질에 해당하고, $n_2$와 $\theta_2$는 두 번째 매질에 해당합니다. 이들을 바꾸면 물리적 상황 자체가 달라집니다.

광선이 어느 쪽으로 굽는지 판단하는 법

대수 계산을 하기 전에도 방향을 미리 예측할 수 있는 경우가 많습니다.

• $n_2 > n_1$이면 $\theta_2 < \theta_1$이므로, 광선은 법선 쪽으로 굽습니다.
• $n_2 < n_1$이면 $\theta_2 > \theta_1$이므로, 굴절이 실제로 일어나는 한 광선은 법선에서 멀어지게 굽습니다.

이 빠른 점검만으로도 수치 답을 믿기 전에 많은 설정 실수를 잡아낼 수 있습니다.

임계각: 굴절이 멈추는 순간

임계각은 빛이 더 큰 굴절률의 매질에서 더 작은 굴절률의 매질로 갈 때만 존재합니다. 그 각도에서는 굴절광이 경계면을 따라 진행하므로 $\theta_2 = 90^\circ$입니다.

이를 스넬의 법칙에 대입하면

$$n_1 \sin \theta_c = n_2$$

따라서

$$\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1}$$

이 공식은 $n_1 > n_2$일 때만 성립합니다. $n_1 \le n_2$이면 그 진행 방향에서는 임계각이 없으므로, 그 경우 전반사는 일어날 수 없습니다.

예제: 물에서 공기로

빛이 물에서 공기로 진행한다고 가정합시다.

$$n_1 = 1.33, \qquad n_2 = 1.00, \qquad \theta_1 = 40^\circ$$

먼저 스넬의 법칙을 사용합니다.

$$1.33 \sin 40^\circ = 1.00 \sin \theta_2$$

$\sin 40^\circ \approx 0.643$을 사용하면,

$$\sin \theta_2 \approx 1.33 \times 0.643 \approx 0.855$$ $$\theta_2 \approx \sin^{-1}(0.855) \approx 58.8^\circ$$

따라서 굴절각은 약 $58.8^\circ$입니다. 이는 입사각보다 큰데, 빛이 더 큰 굴절률에서 더 작은 굴절률의 매질로 이동하면서 법선에서 멀어지게 굽기 때문에 자연스러운 결과입니다.

이제 같은 두 매질에 대한 임계각을 구해 봅시다.

$$\sin \theta_c = \frac{1.00}{1.33} \approx 0.752$$ $$\theta_c \approx \sin^{-1}(0.752) \approx 48.8^\circ$$

$40^\circ < 48.8^\circ$이므로, 광선은 공기 중으로 굴절합니다. 만약 입사각이 약 $48.8^\circ$보다 크다면, 이 물-공기 상황에서는 대신 전반사가 일어납니다.

스넬의 법칙 문제에서 흔한 실수

• 각도를 법선이 아니라 표면을 기준으로 재는 것
• 그림을 이미 정한 뒤에 $n_1$과 $n_2$를 뒤바꾸는 것
• 빛이 항상 법선 쪽으로 굽는다고 가정하는 것
• 빛이 더 큰 굴절률의 매질로 들어갈 때인데도 임계각 공식을 사용하는 것
• 사인값이 $1$보다 크게 나왔는데도 이를 일반적인 굴절 결과로 받아들이고, 전반사가 일어나야 한다는 점을 놓치는 것

스넬의 법칙은 어디에 쓰이나요?

스넬의 법칙은 물 표면, 유리 블록, 프리즘, 렌즈, 광섬유와 관련된 기본 광학 문제에 등장합니다. 또한 물속에서 빨대가 꺾여 보이는 이유와 광섬유가 빛을 가둘 수 있는 이유도 설명해 줍니다.

대부분의 기초 물리 문제에서는 광선이 두 매질의 경계면을 지날 때 가장 먼저 떠올려야 할 도구가 바로 이 법칙입니다.

비슷한 문제 풀어 보기

빛이 유리에서 시작해 $n_1 = 1.50$이고 공기로 들어가며 $n_2 = 1.00$이라고 합시다. 먼저 임계각을 구한 뒤, 입사각이 $35^\circ$일 때 굴절이 일어나는지 전반사가 일어나는지 판단해 보세요.