万有引力——牛顿万有引力定律

万有引力表示任意两个有质量的物体都会相互吸引。在牛顿力学中，这种吸引作用可表示为

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

如果其中一个质量变大，引力就会变大。如果距离变为两倍，引力就会变为原来的四分之一。这里 $m_1$ 和 $m_2$ 表示两个质量，$r$ 是质心到质心的距离，$G \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$ 是引力常量。

牛顿引力定律何时适用

这个公式对点质量是精确成立的。对于球对称物体，例如理想化的行星，只要你位于物体外部，它也同样适用。

在这种条件下，这个物体的效果就好像它的全部质量都集中在中心一样。如果质量分布不规则，直接套用一个简单公式可能就不够了。

平方反比项意味着什么

$1/r^2$ 这一项通常是学生需要真正理解的部分，而不只是死记硬背。距离的重要性往往比初学者预想的更大。

如果距离变为两倍，引力就变为原来的 $1/4$。如果距离变为三倍，引力就变为原来的 $1/9$。这种平方反比规律，是理解牛顿万有引力定律的关键直觉。

例题：两个物体之间的引力

假设两个小物体的质量分别为 $5\ \mathrm{kg}$ 和 $10\ \mathrm{kg}$，它们的中心相距 $2.0\ \mathrm{m}$。

先写出

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

代入数值：

$$F = (6.67 \times 10^{-11}) \frac{(5)(10)}{(2.0)^2}$$ $$F = (6.67 \times 10^{-11}) \frac{50}{4} = (6.67 \times 10^{-11})(12.5)$$ $$F \approx 8.34 \times 10^{-10}\ \mathrm{N}$$

所以，引力约为 $8.34 \times 10^{-10}\ \mathrm{N}$。

这个力非常小。这就是为什么日常物体之间的引力很难被察觉；但当其中一个质量非常大，比如地球或太阳时，同一个定律就会起主导作用。

为什么重力常写成 $W = mg$

在地球表面附近，物体的重量就是你和地球之间的引力。由于你到地心的距离相对于地球半径来说变化很小，这个力常写成

$$W = mg$$

这是一个很有用的局部近似。牛顿万有引力定律则是它背后更一般的原理。

使用引力公式时的常见错误

• 把表面到表面的间隙当成距离，而不是使用质心到质心的距离。
• 忘记这个简单公式直接适用于点质量，或者适用于你位于其外部的球对称物体。
• 漏掉 $r$ 的平方，把引力误认为与 $1/r$ 成正比，而不是与 $1/r^2$ 成正比。
• 把普适常量 $G$ 和地球附近的局部重力场强 $g$ 混淆。

牛顿引力定律用在哪里

牛顿万有引力定律可用于建立下落物体、卫星运动、行星轨道，以及质量与重量关系的模型。在许多入门题中，它也与圆周运动直接相关，因为轨道运动需要向心力。

这个定律特别有用，因为它用同一个框架把地球上的普通重力现象和太空中的运动联系起来。

试做一道类似的引力题

保持质量不变，但把距离从 $2.0\ \mathrm{m}$ 改为 $4.0\ \mathrm{m}$。先在计算前预测结果。如果你已经理解了平方反比的思想，那么新的引力应该是原来的四分之一。如果你想检查自己在另一道引力题中的设定是否正确，GPAI Solver 可以一步一步带你完成类似问题。